1.3 二项式定理（通用）名师教学视频（文字实录）

第4节

二项式定理二

【教学目标】

（1）会用二项式定理求特定的项及特定项的系数；（2）会解决稍微复杂的二线式定理问题；

【教学重点】二项式定理的灵活应用

【教学难点】组合思想在解题中的应用.

一、复习引入：

1.二项式定理：(ab)CnaCnab2.通项Tr1Cnarnrrn0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

b

n)

3.二项式系数：Cn(r0,1,二、讲解新课：

nr33x例1.已知在的展开式中，第6项为常数项．

3x(1)求n；

(2)求含x2项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项.

解：通项公式为：(1)∵第6项为常数项，

n－2r∴r＝5时，有＝0，即n＝10. 3(2)令10－2r1＝2，得r＝(10－6)＝2，

32

2∴所求的系数为C210(－3)＝405. 10－2r3∈Z，(3)由题意得，0≤r≤10，r∈Z.

10－2r令＝k(k∈Z)，

33则10－2r＝3k，即r＝5－k. 2∵r∈Z，∴k应为偶数，

k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，

所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，

－61 236,295 245x2. －1x变式训练1：已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列. 42x（1）证明：展开式中没有常数项

（2）求展开式中所有的有理项

解：见课件

总结：求二项展开式的特定项的常用方法

(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．: 例2．求(x23x4)4的展开式中x的系数

n分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）(x23x4)4[(x23x)4]4

01234C4(x23x)4C4(x23x)34C4(x23x)242C4(x23x)43C444，

显然，上式中只有第四项中含x的项，

3∴展开式中含x的项的系数是C4343768

（法二）：(x23x4)4[(x1)(x4)]4(x1)4(x4)4

0413223404132234(C4xC4xC4xC4xC4)(C4xC4x4C4x42C4x43C444)

3433∴展开式中含x的项的系数是C44C44768．

例3.如何求x13(2x＋1)展开式中含x的项？

x解：x11133(2x＋1)展开式中含x的项是由x＋x中的x与x分别与(2x＋1)展开式中常x1121222数项C3C3C3(2x)2＝x＋12x＝13x.即3＝1及x项C32x＝12x分别相乘再把积相加得x·3＋·x

13x(2x＋1)展开式中含x的项为13x. x

例4．求证511能被7整除；

01505151证明：515114921C514951C5149502C5149250C5121

510150易知C514951C5149502C5149250能被7整除，

51又C5125151123170171161711C177C17716C177能被7整除，

1751511能被7整除

三、课堂练习：

1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得(

) A.(x－1)4

B．x4

C．(x＋1)4

D．x5 x12．在23的展开式中常数项是(

) xA．－28

B．－7

C．7

D．288

13．在2x2的展开式中，中间项是________．

x14．在x2的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.

2x25．求x3的展开式的第三项的系数和常数项

23x6．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．

6695a(2)若x2展开式的常数项为60，则常数a的值为________. x

答案：

1.

B

1kx4－kk18－k8－k·2.

C

解析：Tk＋1＝Ck＝(－1)·C··x8－k，

8·283x23214当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C6·82＝7. 3

3. 【答案】

－160x3

3由n＝6知中间一项是第4项，

1233333－因为T4＝C3(2x)·＝C·(－1)·2·x，

66x所以T4＝－160x3. 1121－k18－3k39－13·－k＝－k·4.【解析】

Tk＋1＝Ck(x2)9k·C·x，当k＝3时，T＝C·x＝－9·9492x22221x9，所以第4项的二项式系数为C3. 9＝84，项的系数为－221【答案】

84

－

25. .

6.(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，

2∴其系数为C510＋C10(－1)＝207. 6(2)x－x2a6k的展开式的通项是Tk＋1＝Ck·

6x－－2k(－a)kx6＝Ck6x－3k(－a)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是C26a，

根据已知得C26a＝60，解得a＝4.