小结教案和学案内容

课题: 《不等式》复习小结

【教学目标】

1．会用不等式（组）表示不等关系；

2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；

3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；

4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；

5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

【教学重点】

不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。

【教学难点】

含参数的一元二次不等式的解法，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。

【教学过程】

1.本章知识结构

2.知识梳理

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba

(2)传递性：ab,bcac

(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd

(4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc

ab0,cd0acbd

(5)倒数法则：ab,ab011

ab(6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1)

(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；

作差法、作商法

3、应用不等式性质证明

（二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解法

一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：

设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

bx1x2

2a

无实根

ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集

x1,x2(x1x2)

xxx或xx

12bxx

2a

R ax2bxc0(a0)的解集

xx1xx2



（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

ab（四）基本不等式ab

2abab(当且仅当ab时取""号).

1、如果a,b是正数，那么2ab2、基本不等式ab几何意义是“半径不小于半弦”

23.典型例题

类型一:不等关系与不等式的性质

【典例1】(1)下列结论正确的是(

) A.若ac>bc,则a>b B.若a2>b2,则a>b C.若a>b,c<0,则a+c

D.若

a



b

,则a

a2b2(2)已知a>0,b>0,且a≠b,比较



与a+b的大小.

ba

x1【巩固训练】若x∈R,则

2

与

的大小关系为________.

1x2

类型二:一元二次不等式的解法

【典例2】若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是

{x|-30. (2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R.

【巩固训练】已知a<0,解关于x的不等式ax2-(a-2)x-2<0.

类型三:简单线性规划问题

xy4，【典例3】设变量x,y满足约束条件



x



2

，

y



3xy0，

则3x+y的最大值为______.

类型四:基本不等式及应用

【典例4】如图所示,某公园要在一块矩形绿地的中央修建两个相同的矩形池塘,每个池塘的面积为10000m2, 池塘前方要留4m宽的走道,其余各方留2m宽的走道,问:每个池塘的长和宽分别为多少时绿地总面积最小?

x2y【巩固训练】若正数x,y满足2x+y-3=0,则

的最小值为________. xy