1.3 二项式定理（通用）教学设计及教案分析

二项式定理教学设计教案

计数原理

备课人:焦阳 ?课题

二项式定理(二) ?教学目标 (一)教学知识点 1.二项式系数的性质:对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.“赋值法”.

(二)能力训练要求 1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用. 2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题. (三)德育渗透目标 1.提高学生的数学素质. 2.树立由一般到特殊的意识. ?教学重点 1.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. n,k，1kk,1CC(2)增减性:?=, nnk n，1?当k,时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的. 2 nn2(3)最大值:当n为偶数时，中间一项(第+1项)的二项式系数最大，最大值为. Cn2 n，1n，1当n为奇数时，中间两项(第项和第+1项)的二项式系数相等，且同时取最22 11n,n，

22大值，最大值为或. CCnn 012rnnCCCCC(4)各二项式系数和+++„++„+=2. nnnnn2.“赋值法”在解题中的运用. ?教学难点 与二项展开式中系数最大项有关问题的求解. ?教学方法 发现法 ?教具准备 投影片一张. 内容:课本P图10-9. 107 ?教学过程 ?.复习回顾 ,师生共同活动, 01rnnnn-11n-rrnCCCC(a+b)=a+ab+„+ab+„b. nnnn

rn-rrCT=ab. r+1n 计数原理

备课人:焦阳 ?.讲授新课 rnC,师,通项公式中的，我们称其为二项式系数，(a+b)展开式的二项式系数，当nn 依次取1，2，3，„时，如下表所示: 1(a+b) 1 1 2 (a+b)1 2 1 3(a+b) 1 3 3 1 4 (a+b)1 4 6 4 1 5(a+b) 1 5 10 10 5 1

6 (a+b)1 6 15 20 15 6 1 „„ „„ 不难发现，它有这样的规律:每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上

两个数的和. ,师,能用我们所学知识解释一下吗, rr,1rrr,1rCCCCCC,生,设这一数为,其肩上的数则为和，由组合数知识可知=+. ，nn，nnn1n1,师,上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家1261年所著的《详解九章算术》

中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现得淋漓尽致. (打出投影片) ,师,下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质. 同学们看出哪些性质, ,生,对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. ,师,为什么呢, mn,mCC,生,因为=. nn ,师,还有什么性质, ,生,增减性与最大值. n，1当k,时，二项式系数是逐渐增大的; 2 n，1当k,时，二项式系数是逐渐减小的. 2 n 2当n是偶数时，最大; Cn 11n,n，

22当n是奇数时, ,相等，且最大. CCnn rC,师,上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此可看成是以r为自变量n 的函数f(r),其定义域是{0,1,2,„,n}.

,师,可以解释上述性质吗,

n(n,1)(n,2)？(n,k，1)(n,k，1)kk,1CC,生,?==?， nn(k,1)!,kk kn,k，1Cn，1kk,1nCC?当,1，即k,时,,1,即,. nnk,1k2Cn 计数原理

备课人:焦阳 kCn,k，1n，1kk,1nCC当,1,即k,时，,1,即,. nnk,1k2Cn ,师,还有其他性质吗, 012rnn2rnCCCCC,生,?(1+x)=+x+x+„+x+„+x, nnnnn

012rnnCCCCC当x=1时，

2=+++„++„+， nnnnn nn即(a+b)的展开式的各个二项式系数的和等于2. ,师,是否还可发现其他性质呢, n,生,在(a+b)的展开式中， 令a=1,b=-1,则可得 01230213CCCCCCCC0=-+-+„=(++„)-(++„)， nnnnnnnn 0213CCCC即++„=++„. nnnn

n也就是说，在(a+b)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的和. ,师,下面看怎样应用这些性质. 255,例1,求(1+2x-3x)的展开式中的x项的系数. ,师,这是一个关于三项式的展开式的问题，而三项式的展开式对于我们来讲，并无现成的公式可用，那么请大家思考一下如何解决,能否与我们刚学的二项式定理产生联系呢, 25,生甲,我认为可以将(2x-3x)看作一项，用二项式定理展开，再考查各项中x项的系数，最后通过求和得到所求. 5,生乙,我也尝试了甲同学的方法，但感觉各项中x项的系数有些烦琐.

,师,虽然此种解法较繁，但对于大家来说，能够熟悉二项式定理，熟悉二项式的展开式，熟悉二项式的通项的特点，所以，我还是提倡大家采用这种思路尝试下去，加深自己的体会. 2,生丙,我注意到括号内的(1+2x-3x)恰好可以分解因式为(1-x)(1+3x),故三项式可转化

5051423324150为两个二项式之积，分别展开后考查得到x项的多种情形:x?x,x?x,x?x,x?x,x?x,x?x，然后将两个二项展开式的系数对应相乘相加即可. ,师,很好，相对于解法一来讲，丙同学的解法就体现了解题方法的灵活性，即通过因式分解将三项式问题转化为二项式问题，其他同学注意体会. 2525解法一:?(1+2x-3x)=,1+(2x-3x), 222232425=1+5(2x-3x)+10(2x-3x)+10(2x-3x)+5(2x-3x)+(2x-3x) 22334455=1+5x(2-3x)+10x(2-3x)+10x(2-3x)+5x(2-3x)+x(2-3x), 55?x项的系数为上式各项中含x项的系数和，即 1212315CC10?2?(-3)+5?2?(-3)+2=92. 34 25552345解法二:?(1+2x-3x)=(1-x)?(1+3x)=(1-5x+10x-10x+5x-x)? 2345(1+15x+90x+270x+405x+243x), 5?展开式中x项的系数为 243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92. 34163,例2,求(1+x)+(1+x)+„+(1+x)的展开式中x项的系数. 3,师,请大家审读题目后，考虑如何获得含x项的系数. 计数原理

备课人:焦阳 3,生甲,我认为可以求出每一项中含x项的系数，并注意发现其变化规律，依次为

3333333CCCCCCC,,,„,，但是,,,„,各项之和的求解较为复杂. 351631644

,师,甲同学的思路完全正确，大家可以一起考虑一下，看能否将甲同学的困惑解决呢, 34334CCCCC,生丁,可以用我们前面所学的组合数性质，将+=+=，再将35444434CCC+=，以此类推，达到求和的目的. 556 43CC,师,很好，乙同学求和的关键是将首项变为，然后多次应用组合数的性质达到34 化简求和的目的，此解法能使我们得到一个启示，用式子表达，即 kkkkk，1CCCCC+++„+=，大家在以后碰到相关题目时，可以尝试使用. k，，nk2k1n，1 ,师,下面大家继续思考，看能否想出其他的解决办法. 334,生戊,我认为，可以将原式化简后再求x项的系数，具体做法是:把(1+x)+(1+x)+„

163+(1+x)看作首项为(1+x),公比为(1+x)(当x?-1时)，项数为14的等比数列的前n项和，由

173(1，),(1，)xx17等比数列前n项和公式求和可得原式=,从上式可以看出只有(1+x)展开x 43174式中含x的项与x相除可得含x项，所以只需考查(1+x)的展开式中含x的系数即可. 3416,生己,戊同学在叙述过程中提到x?-1时，(1+x)+(1+x)+„+(1+x)可以看作等比数列前n项和，那么当x=-1时又如何解释呢, 3,生庚,我认为，由于此题的目的是求x项的系数，其中x是任意的变量，而当x?-1时，求出的系数不失一般性，故不必考虑x=-1的情形.

,师,大家说得很好.同学们由此题联系到我们所学的数列求和方法，将表面的14个二项式问题转化为一个二项式问题，达到了化繁为简，化不熟悉为熟悉的目的，与第一种解法有异曲同工之妙. ,师,下面请大家写出完整的解答过程. 34163解法一:由题意(1+x),(1+x),„,(1+x)的展开式中x项的系数依次为 333CCC,，„，， 3164 3?所求展开式中含x的项的系数为 34333333CCCCCCCC+++„+=(+)++„+ 3516516444

43343434CCCCCCCC=(+)+„+=+„+=„=+=. 5516616161617

4C又=2380, 17 3?所求展开式中含x的系数为2380. 34163解法二:当x?-1时，(1+x)+(1+x)+„+(1+x)可以看作是首项为(1+x),公比为(1+x),项数为14的等比数列的前n项和，由等比数列前n项和的求和公式可得 314173,,(1，x)(1，x),1(1，x),(1，x)原式==. (1，x),1x 计数原理

备课人:焦阳 417433C显然只有(1+x)展开式中x项与分母x相除可得x项，?含x项的系数为=2380. 17 ?.课堂练习 (学生练习，老师讲评) 课本P练习1,3. 109 1010959CCCCC1.(1)=+=+=a+b; 1615151515 4C(2)=126; 9 131110CCC(3)++„+=2=1024; 111111

n21,(4)原式=. n，122

012knnCCCCC2.证明:?+++„++„+=2, nnnnn

0213CCCC++„=++„, nnnn

012kn0213CCCCCCCCC?+++„++„+=(++„)+(++„) nnnnnnnnn

02CC=2(++„) nn

n=2. n202nn-1CCC?++„+==2. nnn2

评述:注意灵活利用二项式系数性质. ?.课时小结 通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质:即对称性、增减性和最大值，及二项式

系数之和. ?.课后作业 (一)课本P习题10.4 4、5. 109 (二)预习提纲 如何利用二项式定理、通项公式及二项式系数性质解决相关问题, ?板书设计 10.4.2 二项式定理(二) 二项式系数性质

例题讲解 ?对称性 ?增减性及最大值 ?二项式系数之和