3.1 数系的扩充教学设计模板

§3.1.1数系的扩充

【学情分析】高二学生已学完实数运算的所有内容，但对方程x210，在实数范围内还不能求解，因此，需要对实数系进行进一步扩充。

【学习目标】

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾及数系扩充必性。

（2）理解复数的有关概念以及符号表示；

（3）掌握复数的代数表示形式及其有关概念.

【重点难点】

重点: 理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．

难点：复数的有关概念及应用．

【学法指导】

回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义；思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】

1.前两个学段学习的数系扩充：NZQR

2.我们知道方程x210在实数集中无解，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？

【问题探究】

探究一、复数的引入

引导1: 为了解决方程x10在实数集中无解的问题，我们设想我们引入一个新数 ，

并规定：（1）i ； （2）实数可以与i进行加法和乘法运算：

实数a与数i相加记为： ；实数a与数i相乘记为： ；实数a与实数b和i相乘记为： ；

（3）实数与i进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i!

（4）i的周期性：i4n+1=

，i4n+2=

，

i4n+3=

i4n=

. 引导2:复数的有关概念：

（1）我们把形如 a,bR的数叫做复数，其中i叫做 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写字母 表示。

．．

（2）复数的代数形式：

复数通常用小写字母 表示，即 a,bR，这一表示形 式叫做复数的代数形式，其中 叫做复数z的实部， 叫做复数z的虚部。

22

点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬如这里我们引入的数i及引入数i后实数与i进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入的 规定要合理，要有一定的依据基础. 探究二、两复数相等

复数z1abia,bR与z2cdic,dR相等的充要条件是 . 思考：（1）a+bi=1+ia=b=1成立吗？为什么？

（2）复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？如果不对

应该怎样说？

点拨：考虑到一个复数是由其实部和虚部共同决定，所以两个复数相等的充要条件为实部

与实部相等且虚部与虚部相等. 探究三、复数的分类：对于复数zabia,bR

当且仅当b0时，复数z表示： 当且仅当a0,b0时，复数z表示： 当b0时，复数z叫做 当a0,b0时，复数z叫做 点拨：将新生知识合理分类不仅便于后续学习的应用，还可以培养我们分类划归解决问题

的思想，也体现了知识形成的规范性. 探究四、复数集C和实数集R之间的关系

纯虚数



非纯虚数

点拨：引入复数后，每一个实数都可以写成复数形式，即每个实数也是一个复数，因此引入

复数的过程相当于数系的再一次扩充，所以实数集R和复数集C的关系为RC. 实数

复数abia,bR虚数

【典例分析】

例1请说出复数23i,311i,i,35i的实部和虚部，有没有纯虚数？

23引导:考虑复数的有关概念.对于复数zabi,ab，Ra叫实部，b叫虚部. 解：

点拨：牢记复数的相关概念. 例2 实数m分别取什么值时，复数zm1m1i是

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 引导:因为mR，所以m1，m1都是实数，由复数zabia,bR是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定实数x的值．

解：

点拨：注意区分复数zabia,bR是实数、虚数、纯虚数的条件. 例3 已知(2x1)iy(3y)i,其中，x,yR，求x与y．

引导:因为x,yR，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值．

解：

点拨：两个复数相等，则实部与实部相等，虚部与虚部相等，实质上建立了两个等式关系，也即是相当于建立两个方程，解题时注意体会运用. 【目标检测】

1.判断下列命题是否正确：

（1）若a、b为实数，则zabi为虚数；（ ）

（2）若b为实数，则zbi必为纯虚数； （ ）

（3）若a为实数，则za一定不是虚数；

（ ）

2.（2010四川），设i是虚数单位，计算iii（

）

A-1

B

1

C

-i

D

i

23

3.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？

27，0.618，2i，0，i，i2，5i8，392i

7 实数： 虚数： 纯虚数： 4.若复数m25m6m23mi为纯虚数，试求实数m的值. 提示：由复数zabia,bR是纯虚数的条件可以确定实数m的值.

5.若x,y为实数，且(xy)y1i2x3y2y1i，求x与y. 提示：由复数相等即可得关于x、y的一个方程组，解方程组即可.



【总结提升】

这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题

【总结反思】

知识 . 重点 . 能力与思想方法 .

【自我评价】你完成本学案的情况为( ) A.很好 B.较好 C.一般 D.较差

【作业】红对勾153页课时作业7.