阅读与思考 九连环教学实录及点评

九连环中的数列递推关系

平阳中学

周丽姬

教学目的:1、熟悉九连环的操作规则；

2、通过解九连环发现其中蕴藏的数列递推关系式；

3、运用归纳、类比、化归等方法解决解九连环数列的通项公式；

4、利用递推关系求通项公式。

教学重点：递推关系及通项公式。

教学难点：数列的递推关系的发现及通项公式的求法。

教学过程：

一、新课的引入及提出：

1、由斐波那契数列的递推关系来引出寻找九连环中的数列的递推关系。

教师：树苗在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后成为老枝，老枝每年长出一条新枝，按照这个规律成长，每年有多少树枝？第一年1，第二年1，第三年2，…第8年呢？有规律吗？

学生1：21，每个数等于前两个数的和。

教师：如果把每年的树枝数看成数列的项，可以得出，从第二项起，每一项等于它前两项的和。

这就是斐波那契数列。这节课我们来探索下九连环中a11,a21,anan2an11,(n3)。的数列推推关系，要怎么找递推关系呢？从数列的相邻两项，三项甚至多项之间的关系。

2、介绍九连环的历史背景及现代的普及。

九连环产生在我国古代，最早可以追溯到先秦时代。从宋朝开始流行，大家看第一张图，《红楼梦》中就有林黛玉解九连环的记载。在西方，九连环也引起了广泛的关注，被称为“中国环”。即使在现代，九连环依然是男女老少钟爱的娱乐项目。

3、介绍怎样才算解九连环。

环柄与九个环完全分离类似上图就算解九连环了。

4、九连环的操作规则：

（1）第1环可以直接套上、解下，第二个环必须使第一个环在环柄上时，才能套上、解下；

（2）第n（n≥3）环必须使第n-1环在环柄上时，第n-2环及之前的环都解下时才能套上、解下。

教师操作示范解1连环，2连环，3连环，并提出每上（下）一个环算一步，用an表示解下n连环所需的最少移动步数。

二、学生小组探究：

任务一：a4?与a2,a3有联系吗？

任务二：a5?与a3,a4有联系吗？

任务三：a9?并填写下列表格：

由学生归纳总结：

递推关系

1. a11,a22,an2an2an11,(n3).

2.an2an11,n为奇数

2an1,n为偶数三、九连环数列通项公式的推导过程：

教师：如果是100连环至少需要多少步呢？

学生：该求出通项公式。

an中,a11,a22,an2an2an11,(n3),求数列an的通项公式。例：数列这道题曾经引起很多数学家的兴趣，我们来试着探索下。要解决这个问题，由于现有的知识不够用，需要先学习以下两个例子：

例1：

已知数列{an}中，a11,an2an11(n2),求数列{an}的通项公式。

学生2：等式两边都加1得：an1（2an11）,

{an1}是以2为首项,2为公比的等比数列。nn。

故an12,即an21教师：在既不是等差数列又不是等比数列中，想办法构造一个新的等差或等比数列，构造数列有很多种方法，现在介绍待定系数法给大家；a

n



1

的系数为2，不能构造等差数列。构造公比为2的等比数列。

待定系数法：

an2(an1），整理得:an2an1,与原式对比系数得，1。

an1为等比数列。教师：由等比数列的定义，从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数；构造相当于把1分两边，凑等比数列的相邻两项。

例2：

已知数列{an}中，a11,an3an12n1(n2),求数列{an}的通项公式。学生3：aan3(an1),整理得:an3an12,与原式对比系数得，2n2。n2n2是等比数列。

教师：我们看构造数列成功了没有？

an2n2是数列的第n项，数列的第n1项应该是an12n3,与式子中的an1矛盾。

学生4：

an2n3(an12n1),1,an2n是等比数列，an3n2n。学生5：两边除以2，nnanan3an1131令b,bb，。变成例1的形式了。

nnn1nn1n2222222学生6：两边都加2，an2n3(an12n1)，an2n是等比数列。

例已知九连环数列{an}中，a11,a22,an2an2an11,(n3),求数列{an}的通项公式。学生7：等式两边都加上

an11,数列{anan11}是公比为2的等比数列。111an12n，令bnan，bnbn12n。

222b1bnbn12n。等式两边都除以2n得：nbn11，

2n2anan112n,anbn12bn21（b），-.

-是公比为-的等比数列。n12n232n32bn2321n111n111n1-（-）（-）()()4321221222n311111bn2n1(1)n1,即an2n1(1)n1。

363623n2nn1学生8：bn2(bn12),即bnbn12.。

232n

b2是以-1为公比的等比数列。n3学生9：anan12n1

an1an2n11

两式相减：an1an12n，

(2n12),n为偶数13an1（2n11),n为奇数

3nn由累加法得: 学生10：anan112,即anan121

an2n(an12n1),则anan132n121

2,比较系数-，。32

21数列{an2n}是公比为1的等比数列。

322111an2n(1)n1,即an(2n2(1)n13)。

3266四、小结

在日常生活中我们要尝试用数学的眼光看事物，体验数学来源于生活，感受数学给我们带来的思维风暴。本节课我们从我国古代流行的游戏九连环中，研究解九连环的规律，提取出数列中二阶递推关系，并解决此递推关系所对应的通项公式，思维量很大，但相信大家也体验到了发现新事物所带来的成就感。