小结公开课教案

第三节

二项式定理

[归纳·知识整合]

1．二项式定理

二项式定理

二项式系数

二项式通项

n1n1nkkn*(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N) －－二项展开式中各项系数Crn(r＝0,1，…，n) nrrTr＋1＝Crb，它表示第r＋1项

na－[探究]

1.二项式(x＋y)n的展开式的第k＋1项与(y＋x)n的展开式的第k＋1项一样吗？

提示：尽管(x＋y)n与(y＋x)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换．

2．二项式系数的性质

[探究]

2.二项式(x＋y)n展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？

提示：不一定最大，当二项式中x，y的系数均为1时，或x，y的系数均为－1，n为偶数时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．

[自测·牛刀小试]

1．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是(

) A．Crn

1C．Crn

－1B．Crn

＋1D．(－1)r1Crn

－－－－1解析：选D

本题中由于y的系数为负，故其第r项的系数为(－1)r1Crn. 2．(2012·四川高考)(1＋x)7的展开式中x2的系数是(

) A．42

C．28

B．35 D．21 5解析：选D

依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C27×1＝21. ax－8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的3．已知x和是(

) A．28

C．1或38

B．38

D．1或28

解析：选C

由题意知C4(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和8·为(1－a)8＝1或38. 4．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．

1T2>T1，C62x>1，解析：由题意得即1

22T2>T3，C62x>C62x，

11解得

125223n2n15．若C1Cn＋3n1＝85，则n的值为________．

n＋3Cn＋3Cn＋…＋3－－－解析：由已知等式，可得

022nnCn＋3C1n＋3Cn＋…＋3Cn＝256. 即(1＋3)n＝256，解得n＝4. 答案：4

2x－6的二项展开式中，常数项等于________．

[例1]

(1)(2012·上海高考)在x1x2＋6的展开式中x3的系数为________(用数字作答)．

(2)(2012·广东高考)x(3)(2012·福建高考)(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________. 26－r6－2r－r＝(－2)rCr[自主解答]

(1)由通项公式得Tr＋1＝Crx，令6－2r＝0，解得r6x6x＝3，所以是第4项为常数项，T4＝(－2)3C36＝－160. 126－r1rr12－3rx2＋6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr(2)由(x)·＝C，令12－3r＝3，得r＝3，66xxx所以展开式中x3的系数为C36＝20. 4rr(3)(a＋x)4的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Crx，令r＝3，得含x3的系数为C34a4a，故－求二项展开式中特定项或特定项系数

3C4a＝8，解得a＝2. [答案]

(1)－160

(2)20

(3)2 ———————————————————

求特定项的步骤

(1)根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指定项(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，且r≤n)；

(2)根据所求项的指数特征求所要求解的项．

2x－n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可1．(2012·泰安模拟)若二项式x能为(

) A．6

C．12

B．10 D．15 2rn－rrrn－3r－解析：选C

Tr＋1＝Cr(x)＝(－2)Cnx，

nx2n－3r当r＝4时，＝0，又n∈N*，

2所以n＝12. 1x－6的展开式中的常数项为________．

2．(1＋x＋x2)x1x－6的展开式的通项为

解析：xr6Tr＋1＝Cr6(－1)x－2r，

－－422当r＝3时，T4＝－C36＝－20，当r＝4时，T5＝C6x＝15x，因此常数项为－20＋15＝－5. 答案：－5

[例2]

设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：

(1)a0；

(2)a1＋a2＋…＋a100；

(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；

(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2. [自主解答]

(1)(2－3x)100展开式中的常数项为C02100，即a0＝2100，或令x＝0，则100·展开式可化为a0＝2100. (2)令x＝1，

可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100，①

所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100－2100. (3)令x＝－1，

可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100，②

①－②可得

2－3100－2＋3100a1＋a3＋…＋a99＝. 2二项式系数和或各项的系数和

(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－3)100(2＋3)100＝1. ———————————————————

赋值法在求解二项式各项系数和有关问题中的应用

“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和时常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

a1a2a20133．若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋2＋…＋2013的值为(

) 222A．2

C．－1

B．0 D．－2 1a1a2a2 013a1a2解析：选C

令x＝0得a0＝1，令x＝，得a0＋＋2＋…＋2 013＝0，所以＋2＋…222a22a2 013＋2 013＝－a0＝－1. 24．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________．

解析：在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10. 答案：10

2x－28的展开式中：

[例3]

求二项式x(1)二项式系数最大的项；

(2)系数最大的项和系数最小的项．

[自主解答]

(1)二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，

241 1204所求项为T4＋1＝C4. 8(x)－x2＝x6rrr1r1C82≥C82，(2)先求系数绝对值最大的项，设第r＋1项的系数的绝对值最大，则rrr＋1r＋1C82≥C82，－－二项展开式系数最大项的问题

r≥9－r，即12≥8－rr＋1，21

解得5≤r≤6，即第6项和第7项的系数绝对值最大．

由于第6项的系数为负，第7项的系数为正，

所以第7项是系数最大的项，

26－112－2＝1 792x这一项为T6＋1＝C6(x)·；

8x第6项是系数最小的项，

25173这一项为T5＋1＝C5. 8(x)·－x2＝－1 792x－2———————————————————

运用二项式定理时的两个注意点

在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负．当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：

(1)二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；

(2)项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关．

1x2－n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的5．如果2x系数之和是(

) A．0

C．64

B．256 1D.

6434Cn>Cn，解析：选D

法一：由已知得32即5

Cn>Cn，

111－6＝. ∵n∈N*，∴n＝6.令x＝1，则原式＝26411－法二：由题意知，只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6，令x＝1，则原式＝261＝. 64

1个公式——二项展开式的通项公式

通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点：

nrr(1)Crb是第r＋1项，而不是第r项；

na－(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒；

(3)通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．

3点注意——二项式系数的三个注意点

(1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；

(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；

(3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错.