1.3 二项式定理（通用）教学设计

1.3.1二项式定理

一

、教学目标

1.知识与技能：

(1) 能利用计数原理证明二项式定理； (2) 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

2. 过程与方法：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。

3. 情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，可以培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理；

难点：二项式定理的应用。

三、课型：新课

四、教学过程

一）新课提问引入课题

今天是星期六，再过7天、15天、8二）讲授新课

1、探究发现

二项式定理研究的是(ab)n的展开式，如：(ab)2?(ab)3?

100天的那一天分别是星期几？

(ab)4?(ab)100? 那么(ab)n的展开式是什么？

探究一：(ab)(ab)(ab)

2aaabbabb

a22abb2

从上述过程可以看出(ab)2是2个(ab)(ab)相乘，根据多项式的乘法法则，每个(ab)在相乘是由两种选择，选a或b选，而且每个(ab)中的a或b选定后，才能得到(ab)2展开式的一项。根据分布乘法计数原理，在合并同类项前(ab)2展开式共有

2222项，合并后共有3项，分别为a2,ab,b2。

①对于a项，是由2个(ab)都不选b得到的，所以a出现的次数相当于2个(ab)00从取0个b的组合数C2，即a的系数为C2

222②对于ab项，是由1个(ab)选a，1个(ab)选b得到的，由于a选定后，b的选1法也随之确定，所以ab出现的次数相当于从2个(ab)中取1个b的组合数C2，即ab的1系数为C2；

③对于b项，是由2个(ab)都选b得到的，相当于从取2个(ab)取2个b的组合22数C2，即的系数为C2。

202122所以(ab)2C2aC2abC2b

探究二：引导学生模仿上述过程推出(ab)3，(ab)4的展开式

02122归纳总结：(ab)2C2aC2abC2b

0312233(ab)3C3aC3abC3ab2C3b

0413222344(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b

012分析：(ab)2展开整理后共有3项，分别为a2,ab,b2，系数为C2；

,C2,C2(ab)3展开整理后共有4项，(ab)展开整理后的项分别为a,ab,ab,b

0123 系数为C3；[来源:学|科|网]

,C3,C3,C333223(ab)4展开整理后共有5项，(ab)4展开整理后的项分别为a4,a3b,a2b2,ab3,b4

01234系数为C4。

,C4,C4,C4,C4问：(ab)的呢，

，（ab)的呢？(学生回答）0n1n1knkknn猜想：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

5n

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是ankbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ankbk，它是由kk个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，k它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项n展开式，这就是二项式定理．

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都a形式，对于每一项ankknnkbk(k0,1,n)的b，它是由kk个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它k出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

2、二项式定理

1）二项式地理

nn0n1n1rnrrn1(ab)nCnb(nN,r1,2,n)

aCnabCnabCnabn1Cn2）二项式定理的特征

①、公式的左边是二项式，右边是二项展开式，共有n1项，等式即为二项式定理；

②、二项式的次数为n,二项展开式每一项的次数也为n；

③、二项式定理展开式按字母a降幂排列，次数由n递减到0；按字母b升幂排列，次数由0递增到n．[来源:Zxxk.Com]

knkk④

二项展开式的通项: 定理中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tr1表示.即通项为knkk展开式的第k1项: Tk1=Cnab

012knk⑤二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数. 与a、b无关。展开式项的系数与a、b有关。

3、回归引入：今天是星期五，再过8天的那一天是星期几？

01r99100 解：8=(71)100C1007100C100799C1007100rC1007C100100100

(r1,2,100)

8100被7除余数为1，即过8100天那一天是星期天[来源:学#科#网Z#X#X#K]

例题1、求(2x解：先化简再展开

16)的展开式

x(2x162x161)()3(2x1)6xxx1013456

C6(2x)6C6(2x)5C62(2x)4C6(2x)3C6(2x)2C6(2x)C63x6012164x3192x2240x16023xxx五、

能力提升来源:学.科.网Z.X.X.K]

1、x2xy展开式中，x5y2的系数是（ ）

A.10 B.20 C.30 D.60

5x12.2的展开是整理后的常数项是 2x六、课堂小结

1、注意二项式定理

中二项展开式的特征

2、区别二项式系数，项的系数

3、掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

knkk4、(ab)n展开式的通项: Tk1=Cnab

5七、课堂作业

巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3