小结教学设计(第二课时)

含参数不等式恒成立问题（高三复习课）

井陉县第一中学

樊帆

教材与学生现实分析：不等式这一章是高中阶段的重要知识，也是高考的重点知识之一，在复习了解不等式及含参数的不等式后，学生对常见不等式的基本解法及含参数的不等式的解法已比较熟悉，对参数的分类讨论也有一定的基础，在此基础上，从逆向的角度，进一步研究含参数的不等式的恒成立的条件，从数和形两方面认识不等式的恒成立问题，加强学生的数形结合与转化的意识和能力，加深对不等式知识的理解和应用。

教学目标：

知识目标：从数和形的角度感受和理解含参数不等式恒成立的条件

能力目标：培养学生运用等价转化和数形结合、分类讨论等数学思想解决数学问题的能力. 德育目标：通过对函数与不等式关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育. 情感目标: 在变式中体验探索的艰辛，分享成功的喜悦；在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神.

教学重点：含参数的不等式恒成立成立问题的解法

教学难点：探求含参数的不等式恒成立的条件

教学方法和教学手段

探索发现法和运用多媒体教学．

教学过程：

问题引入：我们知道：含参数不等式问题主要有三种类型：①解含有参数的不等式；②已知含有参数不等式成立的条件，求参数的取值范围；③已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立，能成立，恰成立或部分成立，求参数的取值范围。今天我们研究含参数不等式恒成立的问题。

问题情境：例1、已知不等式x2ax10,xR恒成立，则a的取值范围为_________。

（学生动手完成，交流并展示其解法，教师巡回观察，了解学生完成情况，做到心中有数）

【解析1】：“形”△=a40,2a2

【解析2】：

2aa2aa22是

x时，fx的最小值1

fxxax1x12424a20，得2a2

令14【解析3】：令yax与y=-x2-1 如图：

22y

Y=ax x O y=-x2-1 y=-x2-1 令axx1，即0,a2

【解析4】：“数”ax21

①

x=0时，01成立，aR

②

x0时，ax11令gxx2,a2

xxmax③

x0时，ax11gxx2,a2

xxmin综上：2a2

（师生共同辨析各种方法，并加以比较，充分理解各种思路，优化解题方法。）

设计意图：①、从学生熟悉的一元二次不等式在实数范围内恒成立问题入手，起点低，学生易解决，为后面的变式问题打基础。

②、学生从数和形的不同思维角度，用多种的方法来解决同一个问题，达到对问题的深刻理解。

拓展延伸：

变式一：若不等式ax2ax10,xR恒成立，则a的取值范围为_________。

解析：①a0时，10成立

a0a0②时，

0a4

综上

0a4

2a4a0设计意图：二次项系数问题是学生容易忽略和出错的地方，通过变式一，让学生理解二次项系数在二次不等式中的地位和作用，加深学生对知识本质的理解，培养学生慎密思维。

点评：比较变式一与问题的区别，注重细节，强化易错易混点，唤起学生注意

变式二：若不等式xax10,x0,恒成立，则a的取值范围为_____。

221【分析1】：x0,axx1恒成立，转化为：ax,x0,恒成立，

x22令fxx12111'11,fx12,x0,,f'x0

xx2111511fxx,x0,上是增函数，x时fx最大f2

2x22225a

2【分析2】：令fxxax1,fx0对x0，恒成立，

212①a40，2a2

2

2a40a2或a2a②a2

0a022a40a2或a2a15③a1a2

2225a1f202综上：a5

2（教师引导学生分析变式二的解法与前面解法的区别，注意条件变化引起的解题策略和细节的变化）

设计意图：1、由探求实数范围内恒成立到某一范围内恒成立的条件，引导学生寻求它们条件的差别，从数和形两方面认识不等式的恒成立问题，进一步加深对不等式的恒成立问题本质的理解。2、分类讨论的标准及分类讨论后的求交或并是学生易混肴的问题，注意区分。

由变式1、变式2与问题相比较，并将其推广到一般情形，得到如下结论1：

(幻灯片2)从“形”的角度考虑：

ab01、ax+bx+c≥0在R上恒成立的充要条件是：c02a0

或02、ax+bx+c＜0在R上恒成立的充要条件是：2ab0a0

或c003、

二次函数型在指定区间上的恒成立问题，可以利用根的分布求解。

从“数”的角度考虑：（分离变量法）将不等式中的两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

若 afx,则 a[fx]max

若 afx,则 a[fx]min(幻灯片3)变式三：若不等式xax20,a1,1恒成立，则x的取值范围为2_________。

【分析1】：令faxax2,a1,1恒成立，

2f1x2x20x2或x1x2或x2

2x1或x2f1xx20【分析2】：axx2

①

x0时，02不成立

2x22x22,a1,1恒成立，只需1，即②

x0时，axx

x2x20x2或x1x2

x22x22,a1,1恒成立，只需1，即③

x0时，axxx2x20x1或x2x2

综上：x2或x2

设计意图：用二次型方法来解与巧妙变换主元，转化为一次型来解决问题，效果不同，引导学生敢于变通和求异，寻求简便合理的解法，培养思维的灵活性。

让学生通过变式3与问题相比较，并将其推广到一般情形，得到结论2：

(幻灯片4)

xm,n,axb0恒成立从“形”的角度：考虑fxaxby y y o m n x o m n x o m n x

fm0当xm,n,fxaxb0恒成立的条件有：fn0

fm0同理，当xm,n,fxaxb0恒成立的条件有：fn0从“数”的角度：分离变量法

变式四：不等式x3x1a3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（

）（新课标选修4-5第20页第9题改编）

设计意图：越是高考最后的阶段越需要回过头来研读课本，近几年来恒成立问题的试题主要是基本初等函数的组合为主，在课本中都有原型。所以引用课本例题进行改编和变式，从简单的函数入手掌握解题方法，然后进行巩固、辨析、加深。

题后反思一：

2

例2、设函数f(x)xekx(k0)，若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.

变式五：变式4若命题“xR,2x23ax90”为假命题，则实数a的取值范围为 。（新课标选修2－1第27页第3（3）题改编）

设计意图：学生在解决恒成立问题时首先是被题目中隐性恒成立问题所迷惑，不知道是关于恒成立问题；其次，当发现是恒成立的问题后又无法选取正确的、简便的方法去解决问题。

题后反思二：

例3（天津理第20题）已知函数fxxabx0，其中a,bR.若对于任意的x11a,2，不等式fx10在,1上恒成立，求b的取值范围. 24分析思路：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．本题的实质还是通过函数求最值解决．

解：f(x)1a．

x20)，(0，∞)内是增函数．

当a≤0时，显然f(x)0(x0)，这时f(x)在(∞，当a0时，令f(x)0，解得xa．

当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

f(x)

(∞，a)

a

0

极大值

(a，0)

(0，a)



↘

a

0

极小值

(a，∞)



↗



↘



↗

f(x)

a，a，∞内是增函数，在(a，所以f(x)在∞，0)，(0，a)内是减函数．



（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f(x)在，1上的最大值为f141与f(1)中的较大者，对于任意4的a，2，不等式f(x)≤10在，1上恒成立，当且仅当

1214139f≤10，b≤4a，

即

44f(1)≤10，b≤9a对任意的a，2成立．

1277，所以满足条件的b的取值范围是∞，

44方法1：化归最值，h(x)10hmax(x)10；

a方法2：变量分离，b10(x)或ax2(10b)x；

x11方法3：变更主元，(a)axb100，a[,2]

x2从而得b≤

设计意图：通过变式，逐步增加思考难度，例3是有关双参数的恒成立问题，再次让学生懂得解决此类问题的实质是解决函数最值问题和让学生体会转化到利用函数思想求解的重要性．

题后反思三：通过今天这堂复习课，我们领略了解决恒成立问题的多种常见求解方法，事实上，这些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决．但是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本质的思想，即通过化归到函数求其最值来处理．

变式六：设x,y均为正数，且方程xxyyaxxyy成立，则实数a的取值范围是__________.

2222

体验高考：

x22xa1．（上海理第19题）已知函数f（x）＝，x∈［1，＋∞)．若对任意xx∈［1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，实数a的取值范围是

.

2．(江西卷文第17题）设函数f(x)x392x6xa．2对于任意实数x，f(x)m恒成立，m的最大值是 ；

3. 函数f(x)lnx2x2mx1在(0,)上单调递增，则实数m的取值范围为 。

4.(天津理第16题）设函数f(x)x21，对任意x,，23xf4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 . mx22x,x05、（2013新课标卷Ⅰ理11）已知函数f(x)，若|f(x)|≥ax，则aln(x1),x0的取值范围是

A.(,0]

B.(,1]

C.[-2,1]

D.[-2,0] x6、(山东理14)若对任意x>0，2≤a恒成立，则a的取值范围是____________．

x＋3x＋17、已知向量ax2,x1,b1x,t，若函数fxab在区间1,1上是增函数，求t的取值范围。

作业：

