2.基本不等式主要内容及教案内容

《基本不等式》教学设计

内容与内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.4节

《基本不等式》的第一课时，主要内容是探索基本不等式的生成和证明过程及其简单的应用. 本节内容具有变通性、应用性的特点，它与线性规划呈并列结构，可用来求某些函数的值域和最值，也可解决实际生活中的最优化配置问题.本节内容由两部分构成，其一是利用“一正、二定、三相等”的七字条件求函数最值并用来解决实际问题，其二是对基本（重要）不等式的探究过程，并在探究过程中学会研究某些数学问题的过程与方法.作为本节内容的第一课时，重点在后者.特别是，本节课内容是体现新课程让学生积极动手实践、自主探索、合作交流学习方式的良好素材. 本节课蕴含了丰富的数学思想及方法，尤其是在两个不等式的发现和对基本不等式的几何解释的学习过程中突出体现了数形结合思想，在基本不等式与重要不等式的关系及其应用中都突显换元的方法. 在对教材深入挖掘的基础上，本节内容中含有多个德育教育点.教材引入赵爽的弦图，是体现数学文化价值、对学生进行以爱国主义为核心的民族精神教育的好机会.在探究不等式的过程中，不等式中等号成立的条件是体会量变与质变的辩证关系的较好素材.

章节标题

学案作者

高考要求

第三章

不等式

3.4 基本不等式

张琳

学案审核

计划学时

刘荣彬

2 掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单最大（小）值问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。 1、知识与能力目标：掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一三维目标

些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→

剖析归纳证明→

几何解释→

应用（最值的求法、证明）的过程呈现，体验成功的乐趣。

1

3、情感与态度目标：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重点教学难点及

解决措施

重点：从不同角度探索基本不等式abab的证明过程及应用。

2难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

教学流程

一、

预习提问，直入主题

[问]同学们在课前预习了文章，请问本节课我们主要学习哪两个不等式？

二、

创设情景，提出问题；

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数22量关系，抽象出不等式ab2ab。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

同时，（动画辅助教学）通过动画演示，

让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：

三、抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。

[问] 你能给出它的证明吗？（代数法）

变式

当a>0,b>0时，在不等式a2b22ab中，以a、b分别代替a、b，

2

得到什么？

【归纳总结】

ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2ab我们称此不等式为基本不等式。

其中称为a,b的算术平均数，ab称2如果a,b都是正数，那么ab为a,b的几何平均数。

四、理解升华：

1、联想数列的知识理解基本不等式

已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

2、探究基本不等式证明方法：（这个作为预案）

2方法一：作差比较或由(ab)0展开证明。

方法二：分析法（完成课本填空）

3、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式abab(a,b0)2的几何解释，通过数形结合，赋abADaOCbB予不等式ab(a,b0)2几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

圆的角度：

直角三角形的角度：

五、例题解析：

例1：(1)已知x0,y0,且xy36，求xy的最小值 (2)已知x0,y0且xy8,求xy的最大值

反思：（1）积定和最小

和定积最大

（2）应用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等

3

例2：请你利用所学知识分别解题

（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

反思：应用题，弄清题意，建立模型

六、合作学习

11:(1)当x0时，x的值何时最小？最小值是多少？x

1(2)结合双勾函数f(x)x,分析函数在定义域x(,0)(0,)x上的最值情况。

a(3)借助上述方法研究一个双勾函数f(x)x(a0)在x(,0)(0,)x上的最值情况。2、求函数y1x(x3)的最小值x3

3、若0x1,求函数yx(1x)的最大值

114:已知正数x,y满足xy1,求的最小值

xy

七、反思总结，整合新知：

4

1、一正、二定、三相等

2、应用题，弄清题意，建立模型

八、思考提升： 1:例1的其它解法

2:思考《合作学习》

均值不等式：若a0,b0，有

abab112ab2a2b22，

等号当且ab时成立．

5

高考闯关

12若实数a,b满足ab,则ab的最小值为（）1.(2015·湖南)

abA.2 B.2 C.22 D.42．(2015.福建）

xy若直线1(a0,b0)过点（1,1），则ab的最小值等于( )

abA.2 B.3 C.4

D.5课后作业

见配套《高一数学集体备课练案与学生作业》

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