小结课堂实录【2】

《选修2-3第一章计数原理小结---二项式定理小结》教学设计

郭贞贞 福建省漳州市第八中学

一、教学目标

1 系统复习二项式定理，正确理解和区分二项式系数，通项，二项式系数等概念，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2 通过典型例题的讲练使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，提高分析和解决问题的能力。

3 通过对本节知识的探究活动，加深学生对二项式定理的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想方法，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的应用能力，创新能力和科学精神。

二、重点难点

（1）重点：二项式定理的应用；

（2）难点：用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 三、设计亮点

本节主要内容是二项式定理的复习小结。为了突出重点，突破难点，落实本节设定的教学目标，安排了复习回顾、诊断自测、考点突破、多维小结等环节，通过启发式、探究式教学，解决与二项展开式有关的简单问题. 四、教学过程

（一）复习回顾

1.二项式定理

n1n1nrrn*(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0b＋…＋Crb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N)；

－－nrr(2)通项公式：Tr＋1＝Crb，它表示第r＋1项；

na－1n(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，Cn，…，Cn. 2.二项式系数的性质

性质

对称性

性质描述

nk与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ckn＝Cn

－增减性

二项式系数Ckn

n＋1当k＜(n∈N*)时，是递增的

2n＋1当k＞(n∈N*)时，是递减的

2n2n二项式

当n为偶数时，中间的一项C取得最大值

系数最

大值

3.各二项式系数和

当n为奇数时，中间的两项Cn12n与Cn12n取最大值

12nn(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2. 2413(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn5＋Cn＋…＝2n1. －[常用结论与微点提醒] 1.二项展开式共有n＋1项；各项的次数都等于二项式的幂指数n，等于a与b的指数的和n. nkk2.通项Tk＋1＝Ckb是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，na－n. 3.区别(a＋b)n的展开式中“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，第k＋1项的二项式系数是Ckn，只与n和k有关，恒为正. （二）诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) nkk(1)Ckb是二项展开式的第k项.(

) na－(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(

) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(

) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(

) nkk解析

二项式展开式中Ckb是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两na－项，故(1)(2)均不正确. 答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

2.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(

) A.Cmn

1C.Cm

n－

m1B.Cn

＋1D.(－1)m1Cm

n－－－－m1解析

(x－y)n展开式中第m项的系数为Cn(－1)m1. 答案

D 3.(选修2－3P35练习A1(3)改编)

122 017C02 017＋C2 017＋C2 017＋…＋C2 017042 016的值为(

) C2 016＋C22 016＋C2 016＋…＋C2 016A.2

C.2 017

B.4 D.2 016×2 017 22 017解析

原式＝2 016－1＝22＝4. 2答案

B 1x－的展开式的第4项等于5，则x等于(

) 4.已知x1A.

7解析

由答案

B 5. (1＋x)n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________. n解析

(1＋x)n的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以＋1＝6，n＝10. 2答案

10 4T4＝C37x71B.－

73C.7

D.－7 －1＝5，得x＝－1.

x7（三）考点突破

考点一

展开式中的特定项或项的系数(多维探究) 命题角度1

求二项展开式中的特定项

1x2－的展开式中，常数项是(

) 【例1－1】

(1)(2016·广东卷)2x5A.－

45B.

415

C.－

1615

D.

1663110的展开式中所有的有理项为________. x－(2)32x解析

426－r(1)Tr＋1＝Cr6(x)112－3r－1＝－1Cr－x，令12－3r＝0，解得r＝4，∴常数项为2x262rr15C4.

6＝16－102kk13.

(2)二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck10－2x10－2k由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.

310－2k3令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，

32∵k∈N，∴r应为偶数.

∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，

45∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，

46345－－，x2.

8256456345－答案

(1)D

(2)x2，－，x2

48256命题角度2

求二项展开式中特定项的系数

11＋2(1＋x)6的展开式中x2的系数为(

) 【例1－2】

(1)(2017·全国Ⅰ卷)xA.15

nB.20

C.30

D.35 1x＋的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，且满足4A＝9(C－B)，则展开式中(2)若3xx2的系数为________. 114r221＋2(1＋x)6展开式中含x2的项为1·解析

(1)因为(1＋x)6的通项为Cr所以Cx和·C6x，6xx266×542x4，因为C2＋C＝2C＝2×＝30，

6662×111＋2(1＋x)6展开式中x2的系数为30.

所以xn（n－1）n2－nnnC2n(2)易得A＝1，B＝，C＝＝，所以有4＝9－，即n2－7n－8＝0，解得3918183rCr188r8－r1n＝8或n＝－1(舍).在x＋3x中，因为通项Tr＋1＝C8x3x＝r·

3x8－2r56，令8－2r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为.

2756答案

(1)C

(2)

27命题角度3

多项式的展开问题

【例1－3】

(一题多解)(2015·全国Ⅰ卷)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(

) A.10

B.20

C.30

D.60 解析

法一

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

232含y2的项为T3＝C25(x＋x)·y.

415其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x·x＝C3x.

1所以x5y2的系数为C25C3＝30. 法二

(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.

21x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2一个取x.因此x5y2的系数为C25C3C1＝30.

答案

C

规律方法

(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. ax－【训练1】

(1))已知的展开式中含x2的项的系数为30，则实数a＝________. x(2)(2017·全国Ⅲ卷改编)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________. 5aarr5－r解析

(1)x－的展开式的通项为Tr＋1＝C5(x)·－＝

xx5－2r53(－a)rCr5·x2.依题意，令5－2r＝3，得r＝1，

∴(－a)1·C15＝30，解得a＝－6.

233233(2)由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C3C25(2x)(－y)＋y·5(2x)(－y)＝40xy，则x3y3的系数为40.

答案

(1)－6

(2)40 考点二

二项式系数的和与各项的系数和

【例2】

在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4)奇数项系数和与偶数项系数和. 解

设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和. 11010(1)二项式系数的和为C010＋C10＋…＋C10＝2. (2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. 2109(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C10＋…＋C10＝2，

399偶数项的二项式系数和为C110＋C10＋…＋C10＝2. (4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，

得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，

1＋510∴奇数项系数和为；

2①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，

1－510∴偶数项系数和为. 2规律方法

(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m

(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）－f（－1）.

213x2－的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为【训练2】

(1)若二项式x(

) 3A.－27C9

f（1）＋f（－1），偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝2n

B.27C39

D.9C49

C.－9C49

(2)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(

) A.1 024

B.243

n

C.32

9D.24 1129－r3x2－的展开式的通项为Tr＋1＝Cr－解析

(1)令x＝1得2＝512，所以n＝9，故(3x)9xxr9－r18－3r6＝(－1)rCrx，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6C9·33＝27C39·39.

(2)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－

(－3)]5＝45＝1 024. 答案

(1)B

(2)A 考点三

二项式定理的应用

2i12332 0172 017【例3】

(1)设复数x＝(i是虚数单位)，则C2 017x＋C2＝2 017x＋C2 017x＋…＋C2 017x1－i(

) A.i

B.－i

C.－1＋i

D.－1－i (2) 487被7除的余数为a(0≤a<7)，则a的值为________.

2i（1＋i）2i12332 0172 解析

(1)x＝＝＝－1＋i，由于C2 017x＋C22 017x＋C2 017x＋…＋C2 017x1－i（1－i）（1＋i）017＝(1＋x)2 017－1＝(1－1＋i)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.

716607166(2)487＝(49－1)7＝C0749－C749＋…＋C7·49－1，由于C749，C749，…，C749都能被7整除，所以487被7除的余数为－1＋7＝6，即a＝6.

答案

(1)C

(2)6 规律方法

(1)逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.

(2)利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论. 23n1n【训练3】

(1)(2018·银川模拟)C1Cn等于(

) n＋2Cn＋4Cn＋…＋2－A.3n

3nC.－1

2

B.2·3n

3n－1D.

2(2)使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为(

) A.1

B.2

C.3

D.4 111123n－1n122nnn解析

(1)C1Cn＝(C0n＋2Cn＋4Cn＋…＋2n＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn)－＝(1＋2)－＝22223n－1.

2(2)81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，所以上式能被5整除的最小自然数为x＝3.

答案

(1)D

(2)C （四）多维小结

1

求特定项（如常数项，系数最大的项，有理项等），关键是用好通项公式。

2

对于二项式系数问题，首先是要熟记二项式系数的性质，其次是要掌握赋值法，赋值法是二项式系数和问题的常用解法。昂

3

利用二项式定理可以证明整除性问题或求余数问题，证明时要注意变形的技巧，通常利用构造法构造二项式以利于证明。

（五）课外作业

一、选择题

1.(x－1)＋5(x－1)＋10(x－1)＋10(x－1)＋5(x－1)＝(

) A.x 55432

B.x－1 5

C.x＋1 5

D.(x－1)－1 55x－1n2.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开x式中含x的项为(

) A.500x nB.150x C.20x D.5x

3.已知(1＋x)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(

) A.2 9B.2 10C.2 11D.2

12x－1n4.(2018·上饶模拟)在23的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的x常数项为(

) A.－7 0122B.7 33C.－28 nn123D.28 n5.已知Cn＋2Cn＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝729，则Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn等于(

) A.63 2B.64 nC.31 D.32 26.若(1＋x)＋(1＋x)＋…＋(1＋x)＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)＋…＋an(1－x)，则a0－a1＋a2－…＋(－1)an等于(

) 3nA.(3－1) 43nC.(3－2) 2

3nB.(3－2) 43nD.(3－1) 2nn11－3n*7.在(n∈N)的展开式中，所有项系数的和为－32，则x的系数等于(

) xA.360 2nB.－360 2C.270 2nD.－270 8.若(1＋x＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2nx，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(

) A.2 二、填空题

9.(2017·山东卷)已知(1＋3x)的展开式中含有x项的系数是54，则n＝________. n2n3－1B. 2nC.2n＋1 3＋1D.

2nπ2m10.已知m＝2cosx＋dx，则二项式x＋的展开式中x的系数为________(用数字6x0π5作答). 11.若将函数f(x)＝x表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)＋…＋a5(1＋x)，其中a0，a1，525

a2，…，a5为实数，则a3＝________(用数字作答). 112.

2x＋－1的展开式中常数项是________(用数字作答). x13. (3－2x－x)(2x－1)的展开式中，含x项的系数为(

) A.600 10B.360 C.－600 D.－360 46351214.在1＋x＋2 015的展开式中，含x项的系数为(

) xA.10 B.30 3C.45 254D.120 3215.(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)(x＋2)＝x＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________(均用数字作答). 16.若(x＋y－1)(2x－y＋a)的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x且x的次数为1的项的系数为________(用数字作答). 35（六）附：板书设计

二项式定理（小结）

1．

二项式定理

2．

二项式系数的性质

3．

各二项式系数和

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