复习参考题名师教学设计1

章末复习课教学设计

[整合·网络构建]

[警示·易错提醒] 1．复数代数形式为z＝a＋bi，a、b∈R，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式．

2．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z＝a＋bi(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．

3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．

4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z2|≠z2. 5．复数与平面向量相联系时，必须是以原点为始点的向量．

6．不全为实数的两个复数不能比较大小．

7．复平面的虚轴包括原点．

专题一

复数的概念

解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋yi(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．

[例1]

(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则a的值为________．

b(2)满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点有________．

解析：(1)因为(1＋i)(1－bi)＝a(a，b∈R)，

则1＋b＋i(1－b)＝a，

1＋b＝a，a＝2，因此解得

1－b＝0，b＝1.a所以＝2.

b2x－2x－3＝0，(2)2所以1y＝，9y－6y＋1＝0，x＝3或－1，

311所以点(x，y)为3，3，－1，3.

答案：(1)2

(2)2个

归纳升华

1．当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论，分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．

2．复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化，体现了转

化与化归的思想．

1＋ai[变式训练]

设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的2－i值为(

) 11A．2

B．－2

C．－

D.

221＋ai（1＋ai）（2＋i）2－a＋（2a＋1）i解析：＝＝，由于该52－i（2－i）（2＋i）复数为纯虚数，所以2－a＝0，且2a＋1≠0，因此a＝2.

答案：A 专题二

复数的四则运算及几何意义

历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．

复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题的求解可结合加法与减法的几何意义进行．[来源:学科网ZXXK]

1－i21，则|z|＝________．

[例2]

(1)设z＝＋i＋1＋i1＋i2i(2)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应点1＋i为A，点A关于原点O的对称点为B，求：①点A所在的象限；

→②向量AB对应的复数．

[来源:学科网ZXXK]

[来源:学。科。网Z。X。X。K]1－i11i(1)解析：因为＋i＝＋i＝＋.

2221＋i1－i2－2i2＝＝(－i)2＝－1.

21＋i

1i1i所以z＝＋－1＝－＋.

2222因此|z|＝

2答案：

22i（1－i）2i(2)解：①z＝＝＝1＋i，

1＋i（1＋i）（1－i）所以z的共轭复数＝1－i，

所以点A(1，－1)位于第四象限．

②又点A，B关于原点O对称．

因为点B的坐标为B(－1，1)，则zB＝－1＋i[来源:学科网Z|X|X|K]12122－＋＝.

222

→所以向量AB对应的复数为zB－zA＝(－1＋i)－(1－i)＝－2＋2i.

归纳升华

复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论．对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行．另外，在计算时也要注意下面结论的应用：

(1)(a±b)2＝a2±2ab＋b2.(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

1－i1＋i1(3)(1±i)＝±2i.(4)＝－i.(5)＝i，＝－i.

i1＋i1－i2(6)a＋bi＝i(b－ai)．

→，OZ→分别对应复[变式训练]

设O为坐标原点，已知向量OZ12数z1，z2，且z1＝32＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(a∈R)，若－z1a＋51－a

→·OZ→的值．

＋z2可以与任意实数比较大小，求OZ12解：依题意得－z1＋z2为实数，又－z1＝3－(10－a2)i，

a＋532－所以z1＋z2＝＋＋[(a2－10)＋(2a－5)]i的虚部为0，

a＋51－a则a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.

又a＋5≠0，所以a＝3.

3此时z1＝＋i，z2＝－1＋i.

83→→＝(－1，1)．

所以OZ1＝8，1，OZ235→→所以OZ1·OZ2＝×(－1)＋1×1＝. 88专题三

共轭复数与复数的模

共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：

(1)|z|＝1⇔z＝(2)z∈R⇔＝z. (3)z≠0，z为纯虚数⇔＝－z. z－1

[例3]

已知为纯虚数，且(z＋1)(

＋1)＝|z|2，求复数z. z＋1解：由(z＋1)(

＋1)＝|z|2⇒z＋z＝－1.①

z－1由于为纯虚数，

z＋1z－1所以＋z＋1＝0⇒z·－1＝0.②

.

设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入①②得

1a＝－，a2＋b2＝1.

213所以a＝－，b＝±.

2213所以z＝－±i. 22归纳升华

共轭复数的性质

(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．

－(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．

－(3)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．

3＋4i[变式训练]

(1)复数z＝3＋，则－z等于(

) 4－3iA．3＋i

C．4＋i

B．3－i D．4－i (2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(

) 44A．－4

B．－

C．4

D.

553＋4i（3＋4i）（4＋3i）25i解析：(1)z＝3＋＝3＋＝3＋＝3＋i，

254－3i（4－3i）（4＋3i）因此－z＝3－i.

(2)由于(3－4i)z＝|4＋3i|＝5，

5（3＋4i）345所以z＝＝＝＋i，

3－4i（3－4i）（3＋4i）55

4因此z的虚部为.

5答案：(1)B

(2)D 专题四

数形结合思想

复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题．

[例4]

已知复数z的模为1，求|z－1－2i|的最大值和最小值．

解：因为复数z的模为1，

所以z在复平面上的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上．

又|z－1－2i|＝|z－(1＋2i)|可以看成圆上的点Z到点A(1，2)的距离，如图所示．

所以|z－1－2i|min＝|AB|＝|OA|－|OB|＝5－1，

|z－1－2i|max＝|AC|＝|OA|＋|OC|＝5＋1. 归纳升华

1．复数的几何意义主要体现在以下三个方面：[来源:学+科+网]

→(1)复数z与复平面内的点Z及向量OZ的一一对应关系；

(2)复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系；

(3)复数z＝z0模的几何意义．

2．复数中数形结合的主要应用：

(1)复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化．

(2)利用|z－z0|判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程，也可以求|z|的最值．

[变式训练]

已知|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. 解析：设O为坐标原点，点A，B，C对应的复数分别为z1，z2，z1＋z2.

因为|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2，

所以∠OAC＝60°，

所以四边形OBCA是边长为2的菱形，

所以∠AOB＝120°.

则|AB|＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 120°＝

122＋22＋2×2×2×＝23.

2→＝OA→－OB→对应复数z－z，

又BA12→|＝|AB|＝23. 所以|z1－z2|＝|BA