3.三个正数的算术-几何平均不等式教案设计范例

高二数学组集体备课教案

主备人：杨军凤

课

题：三个正数的算术—几何平均不等式

1、

三个正数的算术-几何平均不等式及其推导；

内容及解析

2、

利用基本不等式证明；

3、

利用基本不等式及其变形形式求最大（小）值。

知识与技能目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

目标及解析

②过程与方法目标：掌握基本不等式的推导方法，会用基本不等式求最值

③情感、态度与价值观目标：培养类比、推广、求证的思想方法，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题

1、

概念教学：

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当abc时，等号成立）呢？试证明。

重要不等式：已知a,b,cR，那么abc3abc。当且仅当333教学重、难点

支持条件分析

333abc时，等号成立。

注意：不等式成立的条件。可以拓宽为abc0

教学设计过程

与设计意图

定理3：如果a,b,cR，那么等号成立。

abc3abc。当且仅当abc时，3abc变形：abc33abc，abc

3推广：对于n个正数a1,a2,即：

,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均，3a1a2ann≥a1a2an

。当且仅当a1a2an时，等号成立。

n拓展：

n11a1a21anna1a2aaan12nan22a1a222an

2、例题的教学

例1、已知x，y，z∈R+，求证：3（x+y+z）≥27xyz。

由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2、

(1)当0

（3）已知θ为锐角，求y=sinθ.cos2θ的最大值。

例3、

求函数y=2x2+2.a3,(x>0)的最小值.x

3.若a>b>0,则

1abb

的最小值为_______. 小结：我们应该更牢记

一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________. 3、交流互动

教材P10习题1.1

第11、12、13、14题

4、课堂小结

通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

5、作业

基础训练P18课后知能检测

教学问题诊断

1、

基本不等式及其推广形式；

2、

基本不等式及其变形的应用，比较灵活

三个正数的算术—几何平均不等式是基本不等式的推广和应用。准备按照下面的方式来进行：一，复习基本不等式及其几何意义。让学生通过复习，熟悉不等式中的“一正，二定，三相等”的具体含义和应用。并辅以高考题型，是学生掌握高考动向。二，利用类比的推理方法由基本不等式的推广到三个正数的算是平均基本不等式，进而推广到n各正数的算是平均基本不等式。三，例题，利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，重点强调如何变形为基本不等式的形式。

所以在新课讲解方面，我仔细研读教材，发现本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。如何用好基本不等式，需要学生理解六字方针：一正二定三等。这是比较抽象的内容。尤其是“定”的相关变化比较灵活，不可能在一节课解决。巩固练习中设计了选择题，让学生理解六字方针的内涵。还从“和定”、“积定”两方面设计了相关练习，让学生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。

教学中，我应用“情景—问题—研究”模式教学，展示了“数学教学是数后记与反思

学活动的教学”，教师是活动的组织者、指导者、协作者和调控者。学生是数学建构活动的主人。教学设计不是用传统的公式+例子+练习模式设计，而是把公式的建立当做一种情境，设计问题串为学习搭建脚手架，引发学生去操作、活动、讨论、反思。本节课通过3个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。

本节课比较满意的方面有：

⑴课堂气氛活跃、师生互动积极、教学相长、意犹未尽。

⑵教学思路比较清晰，各环节联系紧密，问题的设置能够指导学生进行主动地探究，使学生具有大量的思维活动。

⑶主要结论均由学生探究获得，学生体会到数学知识的形成过程，感受到探究的乐趣、成功的喜悦。

还需改进之处有：

由于时间关系，小结部分没有总结到位。