1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教案设计（一等奖）

建水六中39年级2017-2018学年下学期数学学科导学案

课题：§1.2独立性检验的基本思想及其初步应用

日期：2018年 5 月 日 主备教师：杨红莉 备课组长审核: 一、学习目标

1.理解分类变量的含义；会根据收集的数据列出2×2列联表，并会阅读三维柱形图和二维条形图，并粗略判断两个分类变量是否有关系；

2.理解假设检验思想，会利用独立性检验精确判断两个分类变量是否有关系；

二、重点难点

会利用独立性检验精确判断两个分类变量是否有关系

三、知识梳理

1．与列联表相关的概念

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，像这样的变量称为分类变量．

(2)列联表：

①列出的两个分类变量的频数表，

称为列联表．

②一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

x1

x2

总计

在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0, 因此|ad－bc|越小，

关系越弱；

|ad－bc|越大，

关系越强．

2．等高条形图

等高条形图与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，

常用等高条形图展示列表数据的频率特征．

3．独立性检验的基本思想

(1)定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

(2)公式：K＝

1 2y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

4、归纳总结：独立性检验的步骤：

(1)确定分类变量，获取样本频数，得到列联表．

(2)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0．

(3)利用公式K＝附表：

P(K2≥k0)

k0

(4)作出判断．

如果k≥k0，就推断在犯错误率不超过α的前提下认为“X与Y有关系”（或者有1-α的把握认为“X与Y有关系”），否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y的关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．

四、合作探究

探究1：两个变量的独立性检验

例1在对人们的休闲方式的一次调查中，

共调查了124人，

其中女性70人，

男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，

另外27人主要的休闲方式是运动；

男性中有21人主要的休闲方式是看电视，

另外33人主要的休闲方式是运动．

(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；

并估计，

以运动为主的休闲方式的人的比例；

(2)能否在犯错误的概率不超过0．025的前提下，

认为性别与休闲方式有关系？

附表：

P(K2≥k0)

k0

n(ad－bc)2K＝．

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)22a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d计算随机变量K2的观测值k0．

0．50

0．40

0．25

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．455

0．708

1．323

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

0．001 10．828 0．50

0．40

0．25

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001 10．828 0．455

0．708

1．323

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

解：(1)由所给的数据得到列联表

休闲方式

性别

女

男

看电视

43

21

运动

27

33

总计

70 54

2

总计

所以以运动为主要的休闲方式的人的比例为15∶31．

(2)根据列联表中的数据计算得随机变量K2的观测值，

k＝－70×54×64×60264

60

124 ≈6．201，因为k>5．024，

所以在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为休闲方式与性别有关．（即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”。）

练习1

气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表所示．问它们的疗效有无差异（可靠性不低于99%）？

复方江剪刀草

胆黄片

合计

有效

184 91 275 2无效

61 9 70 合计

245 100 345 345(18496191)211.098

解：由列联表中的数据，求得

27570245100211.09810.828

所以我们有99.9%的把握认为：两种药物的疗效有差异．

练习2

下表中给出了某周内中学生是否喝过酒的随机调查结果，若要使结论的可靠性不低于95%，根据所调查的数据，能否作出该周内中学生是否喝过酒与性别有关的结论？

男生

女生

合计

喝过酒

77 16 93 没喝过酒

404 122 526 合计

481 138 619

解：由列联表中的数据，求得

21.6366，

21.63663.841，

所以，不能推断出喝酒与性别有关的结论．

探究3：独立性检验的综合应用

例3

某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不

3

同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

(1)在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；

(2)由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

[解]

(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96)，(93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果，

符合条件的事件数(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10种结果，

102根据等可能事件的概率得到P＝＝．

153(2)由已知数据得

成绩优秀

成绩不优秀

总计

根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值

k＝－6×34×20×202甲班

1

19

20

乙班

5

15

20

总计

6 34 40 ≈3．137，

由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

归纳总结：(1)独立性检验问题是常与统计、概率相结合，解题时一定要认真审题，找出各数据的联系．

(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．

练习4

某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动，他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式，教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式，A，B，C三类课的节数比例为3∶2∶1．

(1)为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B，C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表(单位：节)

4

新课堂模式

传统课堂模式

总计

请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．

(2)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出12节课作为样本进行研究，并从样本中的高效

60

40

100

非高效

30

50

80

总计

90 90 180 B模式和C模式课堂中随机抽取2节课，求至少有一节课为C模式课堂的概率．

（参考临界值有：

P(K2≥k0)

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001 k0

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

参考公式：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d．）

解：(1)由列联表中的统计数据计算随机变量K2的观测值为：

2∵k＝－100×80×90×90＝9>6．635，

由临界值表P(K2≥6．635)≈0．010，

∴有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关．

(2)样本中的B模式课堂和C模式课堂分别是4节和2节．

从中任取两节有15种取法，其中至少有一节课为C模式课堂取法有9种，

∴至少有一节课为C模式课堂的概率为9315＝5．

四、自主小测

1．对于独立性检验，下列说法正确的是(

) A．K2＞3．841时，有95%的把握说事件A与B无关

B．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B有关

C．K2≤3．841时，有95%的把握说事件A与B有关

D．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B无关

2．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验(

) A．H0：男性喜欢参加体育活动

B．H0：女性不喜欢参加体育活动

C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关

D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关

3．如果有99%的把握认为“X与Y有关系”，那么具体算出的数据满足(

)

5

附表：

P(K2≥k0)

k0

A．k＞6．635 C．k＞7．879 答案：A

4．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

男

女

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到

非统计专业

13 7 统计专业

10 20

B．k＞5．024

D．k＞3．841 0．05

0．025

0．010

0．005

0．001 3．841

5．024

6．635

7．879

10．828 50(1320107)24.844，∵χ23.841，

χ232720302所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为

．（答案：5%）

附：临界值表（部分）：

P（χ2x0）

0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 x0

5．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”，得到如下的列联表：

男

女

由此表得到的正确结论是(

) A．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

6 做不到“光盘”

45

30

能做到“光盘”

10 15

D．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

6．若两个分类变量X与Y的列联表为：

x1

x2

y1

10

40

y2

15 16 则“X与Y之间有关系”这个结论出错的可能性为________．

7．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：

心脏搭桥手术

血管清障手术

合计

又发作过心脏病

39

29

68

未发作过心脏病

157

167

324

合计

196 196 392 试根据上述数据计算K2≈________，能否作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论________(填“能”或“不能”)．

8.（2017课标II，19）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：

（1）

记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；

（2）

填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法

新养殖法

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

（3）

根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。

附：

7

0.050 P（）

0.010 0.001 k 23.841

6.635 10.828 n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)

8答案（1）0.62.（2）有把握（3）新养殖法优于旧养殖法

解析

(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为

(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62. 因此,事件A的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

旧养殖法[来源:Z§xx§k.Com]箱产量＜50kg

62 34 箱产量≥50kg

38 66 新养殖法

K2=200（6266-3438）≈15.705

10010096104由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.

参考答案

8

1解析：选B

由独立性检验的知识知：K2＞3．841时，有95%的把握认为“变量X与Y有关系”；K2＞6．635时，有99%的把握认为“变量X与Y有关系”．故选项B正确．

2解析：选D

独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的K2应该很小，如果K2很大，则可以否定假设，如果K2很小，则不能够肯定或者否定假设．

3解析：选C

由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15．

则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100．

代入K＝2a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d，得K的观测值k＝2－55×45×75×252≈3．030．因为2．706<3．030<3．841．

所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．

4解析：由题意可得K2的观测值

k＝＋15＋40＋＋＋－＋2＋≈7．227，

∵P(K2≥6．635)≈1%, 所以“x与y之间有关系”出错的可能性为1%．

答案：1% 5解析：根据列联表中的数据，可以求得K的观测值k＝2－68×324×196×1962≈1．779．

K2＜2．072的概率为0．85．作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．

答案：1．779

不能

9