小结教案及板书设计

选修1-2 第一章：统计案例知识点：

1、

变量之间存在两类关系：函数关系和相关关系，前者是确定的，后者是不确定的。

相关关系的分类

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，（如下图）对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关。

2、回归分析的基本步骤：

(1) 画两个变量的散点图。（以解释变量为横坐标、预报变量为纵坐标，在平面直角坐标系中描出样本数据）

(2)求回归直线方程：常利用最小二乘法求其回归直线方程ybxa。

^^^b是回归直线斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y就增加(b0)或减少(b0)|b|个单位

bb^^^^^xyii1ni1ninxy2(xi1nnix)(yiy)iyx（公式不要求记忆，但要求会用）

。 a,aybbx^^xi2nx^^(xi1^^x)2xx1x2xnyy2yn，y1；(x,y)称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心

nn^（3）残差分析: 残差:eiyiyiyi(bxia)则ei称为相应点(xi,yi)的残差

残差图:（如右图）

残差点比较均匀地落在狭窄的水平带状区域中, 说明回归模型的精度较高

相关指数（模型的拟合效果的检验）

n

2(yy)ii

残差平方和2i1R11。

n总偏差平方和(yiy)2

i1

残差0.02编号100.022345678910

R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2（相关系数取值及其意义）2越接近1，模型的拟合效果越好.（如:R0.9991,说明弹簧长度有99.91%由物体重量引起的.）

（4）相关系数（线性相关强度的检验）(必修3) 完全正相关完全负相关无线性相关n

(xix)(yiy)

-1.0-0.50+0.5+1.0i1

r.nnr

2(xix)(yiy)2负相关程度增加正相关程度增加

i1i13、独立性检验：

1定量变量：（体重，身高，温度，考试成绩等）----回归分析

分类变量：（性别，是否吸烟，是否患病，宗教信仰，国籍等）----独立性检验

看电视会根据给出数据建立一个22的列联表和画出列联表的等高条形图（如右图）

0.52利用随机变量K来判断

“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的运动独立性检验。

相关关系的测度计算构造的随机变量K的观察值k，

20女n(adbc)2，

k(ab)(cd)(ac)(bd)（其中nabcd为样本容量）

如果由观测数据计算得到的K2k0，

则我们有[1P(K2k0)]100%

把握说明假设不合理（即两个分类变量有关系）。

男

总计

a+b c+d a+b+c+d 0.001 10.828 22列

联

表

x1

x2

总计

0.025 5.024 y1

a c a+c 0.010 6.635 y2

b d b+d 0.005 7.879 P(K2k0)

k0

0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 例如：k>10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”； k>2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”；

出生时间

性别

总计

- 1 - 晚上

白天

男婴

例1．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系, 得到下面的数据:出生时间在晚上的男婴为24人,女婴为8人; 出生时间在白天的男婴为31人,女婴为26人; （1）将22的列联表补充完整. （2）画出列联表的等高条形图；

（3）能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为男婴性别与出生时间有关系? 解：（1）

1出生时间

性别

总计

晚上

白天

男婴

24 31 55

0.5女婴

8 26 34

总计

32 57 89

（2）列联表的高等条形图为（如右图）

0（3）由22的列联表，代入计算K的观察值k，

2晚上白天男婴女婴

n(adbc)289(2426318)22k3.6892.706，由表得P(K2.706)0.10

(ab)(cd)(ac)(bd)55343257因此在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为男婴性别与出生时间有关系

1P(K22.706)10.1090%，所以有90%的把握认为男婴性别与出生时间有关系

例2．研究弹簧重量x(单位:克)对弹簧长度y(单位:厘米)的影响,对不同重量的6个物体进行测量,数据如下表所示:

重量x 5 10 15 20 25 30 弹簧长度y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 （1）作出散点图,求出回归方程; （2）求出R; （3）进行残差分析. 解：(1)

散点图:

y212108642x05101520253035^^^

(2)由散点图知, 回归方程为ybxa

x=51063017.5=18，y=

7.258.1261 5 2 10 11.83 15 9.487

5 25 6 30 4 20 xi

yi

7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 6

xiyi6xy6^

62xi2275xiyi1076.2bi160.183

2i1i1xi26x

i1ˆ6.2850.183x

故回归方程是：y

(2)列出残差表为

ˆi0.05 0.005 -0.08 -0.045 0.04 0.025 yi

yaybx6.285^^- 2 -

y-2.24 -1.37 -0.54 0.41 1.41 2.31 yi

6ˆi)20.01318(yiy

i1

(yiy)214.6784i16R21ˆ)(yyii62(yy)ii1i160.99912(3)由(2)得R0.9991,说明弹簧长度有99.91%由物体重量引起的,所以，回归模型拟合效果好. 在残差表中,可以看出第3个样本点的残差比较大,需要重新建立模型进行纠正; 残差点比较均匀地落在狭窄的水平带状区域中, 说明回归模型的精度较高.

残差图：

残差20.02编号100.022345678910

例3：今年一轮又一轮的寒潮席卷全国.某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y（件）与月平均气温x(oC)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，

数据如下表：

（1）作出散点图；

月平均气温x(oC)

17 13 8 2 （2）求出回归方程；

月销售量y（件）

24

33

40

55

（3）作出残差图；

（4）计算相关指数R，说明其含义；

（5）气象部门预测下个月的平均气温约为6C，试预测该商场下个月毛衣的销售量。

解：（1）作散点图（略）

（2）x10,y38，

o2xyii14^i4i1267，xi526，

2i14bxyi142i1i4xy2xi4x1267410382

2526410aybx3821058，

回归直线方程是：y2x58。

（3）

月平均气温x(oC)

17 13 8 2 ^^月销售量y（件）

残差24

0 33

1 40

-2 55

1 残差yiyi

^21作出残差图（如下图）

- 3 - 0121234编号

残差平方和(yi144iyi)26，

^总偏差平方和4(yi1iy)2514，

R21(yiyi)2i14^0.988

(yi1iy)2说明月销售量的差异有98.8%的可能性由月平均气温影响的. （5）由第（2）可得，当x10时，

y^2x582105846，该商场下个月毛衣的销售量约为46件 - 4 -