3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学内容

3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

复数的加减法

[提出问题] 已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．

问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想，复数如何加减？

提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？

提示：满足．

问题3：以交换律进行说明．

提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，

z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i，

∴z1＋z2＝z2＋z1. [导入新知] 1．复数的加减法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，

z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．复数加法的运算律

(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[化解疑难] 对复数加减法的理解

1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．

2．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．

3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i＝3. 复数加减法的几何意义

1

[提出问题] 如图OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应．

问题1：试写出OZ1，OZ2及OZ1＋OZ2，OZ1－OZ2的坐标．

提示：OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，

OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，OZ1－OZ2＝(a－c，b－d)．

问题2：向量OZ1＋OZ2，OZ1－OZ2对应的复数分别是什么？

提示：向量OZ1＋OZ2对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2；向量OZ1－OZ2对应的复数是a－c＋(b－d)i，也就是z1－z2. [导入新知] 复数加减法的几何意义

如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ

，与z1－z2对应的向量是Z2Z1 .

[化解疑难] 对复数加减运算几何意义的认识

(1)若复平面内任意两点Z1，Z2所对应的复数分别是z1，z2，则Z1，Z2两点之间的距离|Z1Z2|＝|z2－z1|. (2)复数加减法的几何意义包含两方面：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中；另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释．

复数的加减运算

2

[例1] 计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；

(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；

(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．

[解] (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i＝22i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i ＝－a＋(4b－3)i. [类题通法] 复数的加减运算的技巧

(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．

[活学活用] 计算下列各题：

(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；

(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 017－2 018i)．

解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i. (2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 015－2 016＋2 017)＋(－2＋3－4＋5－…－2 016＋2 017－2 018)i＝1 009－1 010i.

复数加减运算的几何意义

[例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．

[解] 如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝zA＋zCzB＋zD2＝2，

所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i. 因为AC：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，

所以|AC|＝|7＋2i|＝7＋2＝53. 22因为BD：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，

所以|BD|＝|5－12i|＝5＋12＝13. 3 22

故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是53和13. [类题通法] 运用复数加减运算的几何意义应注意的问题

向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．

[活学活用] 复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示．求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．

因为AD＝OD－OA，

所以AD对应的复数为

(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i. 因为BC＝OC－OB，

所以BC对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. 因为AD＝BC，

所以它们对应的复数相等，即－i. 综合应用

[例3] 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. [解] 法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a＋b＝1，c＋d＝1，(a＋c)＋(b＋d)＝2，

又(a＋c)＋(b＋d)＝a＋2ac＋c＋b＋2bd＋d，

∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|＝(a－c)＋(b－d)

＝a＋c＋b＋d－(2ac＋2bd)＝2，

∴|z1－z2|＝2. 法二：作出z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，使OZ1＋OZ2＝OZ，

∵|z1|＝|z2|＝1，又OZ1，OZ2不共线(若OZ1，OZ2共线，

4 2222222222222222222x－1＝1，y－2＝－3.

解得x＝2，y＝－1.

故点D对应的复数为2

则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，

∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．

又∵|z1＋z2|＝2，

∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，

故|z1－z2|＝2. [类题通法] 与复数模有关的几个常见结论

在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1＋Z2对应的点为C，O为坐标原点：

(1)则四边形OACB为平行四边形；

(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；

(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；

(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

[活学活用] 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 解：法一：设z1＝a＋bi，

z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴a＋b＝c＋d＝1，

①

(a－c)＋(b－d)＝1. ②

由①②得2ac＋2bd＝1. ∴|z1＋z2|＝(a＋c)＋(b＋d)

＝a＋c＋b＋d＋2ac＋2bd＝3. 法二：设O为坐标原点，

222222222222z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴△OAB是边长为1的正三角形，

∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，

∴|z1＋z2|＝|OC| ＝|OA|＋|AC|－2|OA||AC|cos 120°＝3.

22

5

4.误将复数运算当作实数运算

[典例] M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝________. [解析] 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z＋1|＝1的几何意义是以点(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．|z＋i|＝|z－i|的几何意义是到点A(0,1)和点B(0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是x轴．M∩N的几何意义是x轴与圆的公共点对应的复数．故z＝0或z＝－2. ∴M∩N＝{0，－2}．

[答案] {0，－2} [易错防范] 1．本题若混淆复数运算与代数运算，则会错误地将集合M和N化简为M＝{z|z＋1＝±1}，N＝{z|z＋i＝±(z－i)}，从而造成解题错误．

2．在复数运算中，若z＝a＋bi，则|z|＝a＋b.要注意与实数运算中的绝对值运算的区别．

[成功破障] 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________. 解析：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则|z|＝a＋b，

代入方程得a＋bi＋a＋b＝2＋8i，

222222a＋a2＋b2＝2，∴b＝8，a＝－15，解得b＝8.

∴z＝－15＋8i. 法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，

∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，

于是|z|＝(2－|z|)＋8，

即|z|＝68－4|z|＋|z|，∴|z|＝17. 代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i. 答案：－15＋8i 2222

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[随堂即时演练] 1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(

) A．－1＋i

C．i B．1－i D．－i 解析：选A 原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i. 2．在复平面内，AB，AC对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则BC对应的复数为(

) A．－1－5i C．3－4i B．－1＋5i D．3＋4i 解析：选A BC＝AC－AB＝(－2－3i)－(－1＋2i)＝－1－5i. 3．实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________．

解析：由题意得x＋y＋(x－y)i＝2，

x＋y＝2，∴x－y＝0，

x＝1，∴y＝1，

∴xy＝1. 答案：1 4．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝________. 解析：设z＝a＋bi，则a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i是纯虚数，

∴a＝0，b＋3≠0.又∵|z|＝3，∴b＝3，∴z＝3i. 答案：3i 5．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2. 解：∵z＝z1－z2

＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i] ＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i ＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，

又∵z＝13－2i，且x，y∈R，

5x－3y＝13，∴x＋4y＝－2，

解得x＝2，y＝－1，

∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，

z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.

[课时达标检测] 一、选择题

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1．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则|z1＋z2|＝(

)

A．1 C．2 B.5 D．3 解析：选B 由图象可知z1＝－2－2i，z2＝i，

所以z1＋z2＝－2－i，|z1＋z2|＝5. 2．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(

) A．1－3i C．－2＋i B．－2＋11i D．5＋5i 解析：选D ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，

∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i. 又∵f(z)＝z，

∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i. 3．在复平面内的平行四边形ABCD中，AC对应的复数是6＋8i，BD对应的复数是－4＋6i，则DA对应的复数是(

) A．2＋14i C．2－14i B．1＋7i D．－1－7i 解析：选D 依据向量的平行四边形法则可得DA＋DC＝DB，DC－DA＝AC，由AC对应的复数是6＋8i，BD对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得DA对应的复数是－1－7i. 4．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2＋4的最小值为(

) A．2 C．42 解析：选C 由|z－4i|＝|z＋2|得

|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，

∴x＋(y－4)＝(x＋2)＋y，

即x＋2y＝3，

∴2＋4＝2＋2≥2 2xyx2y2222xy B．4 D．16 x＋2y＝22＝42，

3

8

3xy当且仅当x＝2y＝时，2＋4取得最小值42. 25．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(

) A．外心 C．重心 B．内心

D．垂心

解析：选A 设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．

二、填空题

6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________. 解析：∵z1＋z2＝5－6i，

∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，

x＋3＝5，∴2－y＝－6，

x＝2，即y＝8，

∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，

∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i 7．已知|z|＝5，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________. 解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，

则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i. x－2＝0，由题意知y＋4≠0，x2＋y2＝5.∴x＝2，y＝1

或x＝2，y＝－1.

∴z＝2±i.

答案：2±i

8．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．则在复平面内z1－z2对应的点在第________象限．

解析：因为z1－z2＝－2＋2i，所以对应点(－2,2)在第二象限．

答案：二

三、解答题

9.如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋

9

2i，－2＋4i.求：

(1)向量AO对应的复数；

(2)向量CA对应的复数；

(3)向量OB对应的复数．

解：(1)因为AO＝－OA，

所以向量AO对应的复数为－3－2i. (2)因为CA＝OA－OC，

所以向量CA对应的复数为

(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB＝OA＋OC，

所以向量OB对应的复数为

(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.

10．已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sinθ＋i，z2＝－cosθ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB对应的复数是z. (1)求复数z；

1(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．

2解：(1)∵点A，B对应的复数分别是

22z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，

∴点A，B的坐标分别是A(sinθ，1)，

2B(－cos2θ，cos 2θ)，

∴AB＝(－cosθ，cos 2θ)－(sinθ，1) ＝(－cosθ－sinθ，cos 2θ－1) ＝(－1，－2sinθ)．

∴AB对应的复数z＝－1＋(－2sinθ)i. (2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sinθ)，

1代入y＝x，

21122得－2sinθ＝－，即sinθ＝，

241∴sin θ＝±. 2

10 2222222

又∵θ∈(0，π)，

1∴sin θ＝，

2π5π∴θ＝或. 66

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