2.2.2 反证法教学设计思路

2．2.2

反证法

学习目标

1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．

知识点

反证法

王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

思考1

本故事中王戎运用了什么论证思想？

思考2

反证法解题的实质是什么？

梳理

(1)定义：假设原命题__________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明____________，从而证明了________________，这样的证明方法叫做反证法．

(2)反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与____________矛盾，或与________矛盾，或与____________________________矛盾等．

类型一

用反证法证明否定性命题

例1

设{an}是公比为q的等比数列．设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．

反思与感悟

(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．

(2)用反证法证明数学命题的步骤

跟踪训练1

已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．

类型二

用反证法证明“至多、至少”类问题

例2

a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1. 引申探究

1已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于. 4

反思与感悟

应用反证法常见的“结论词”与“反设词”

当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：

结论词

至少有一个

至多有一个

至少有n个

反设词

一个也没有

至少有两个

至多有n－1个

结论词

对所有x成立

对任意x不成立

p或q 反设词

存在某个x0不成立

存在某个x0成立

綈p且綈q

至多有n个

至少有n＋1个

p且q 綈p或綈q

跟踪训练2

已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

类型三

用反证法证明唯一性命题

例3

求证：方程2x＝3有且只有一个根．

反思与感悟

用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．

跟踪训练3

若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．

1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(

) A．三角形中至少有一个直角或钝角

B．三角形中至少有两个直角或钝角

C．三角形中没有直角或钝角

D．三角形中三个角都是直角或钝角

2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(

A．有一个内角小于60°

B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60°

D．每一个内角都大于60°

3．“a

) A．a≠b

B．a>b

C．a＝b

D．a＝b或a>b

4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(

) A．a不垂直于c

B．a，b都不垂直于c

)

C．a⊥b

D．a与b相交

5．用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，3当a≤－或a≥－1时，至少有一个方程有实数根．

2

用反证法证题要把握三点：

(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．

(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．

(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．

答案精析

问题导学

思考1

运用了反证法思想．

思考2

否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．

梳理

(1)不成立

假设错误

原命题成立

(2)已知条件

假设

定义、公理、定理、事实

题型探究

例1

证明

假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，

(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

∴a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

2kkk1即a2·a1qk1＋a1qk1＋a1qk1，

1q＋2a1q＝a1q－＋－＋∵a1≠0，∴2qk＝qk1＋qk1. －＋∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，

∴q＝1，这与已知矛盾．

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

跟踪训练1

证明

假设a，b，c成等差数列，

则2b＝a＋c，

∴4b＝a＋c＋2ac.①

∵a，b，c成等比数列，

∴b2＝ac，②

由②得b＝ac，代入①式，

得a＋c－2ac＝(a－c)2＝0，

∴a＝c，从而a＝b＝c. 这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，

∴假设不成立．

故a，b，c不成等差数列．

例2

证明

假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1. 因为a，b，c∈(0,2)，

所以2－a>0,2－b>0,2－c>0. 2－a＋b所以≥2－ab>1. 22－b＋c同理，≥2－bc>1，

22－c＋a≥2－ca>1. 2

三式相加，得

2－a＋b2－b＋c2－c＋a＋＋>3，

222即3>3，矛盾．

所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1. 引申探究

1证明

假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于. 4∵a，b，c都是小于1的正数，

∴1－a,1－b,1－c都是正数．

1－a＋b∴≥1－ab>211＝. 421－b＋c11－c＋a1同理，>，>. 22221－a＋b1－b＋c1－c＋a3三式相加，得＋＋>，

222233即>，矛盾．

221∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于. 4跟踪训练2

证明

假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，

由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，

得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，

且Δ3＝(2a)2－4bc≤0. 同向不等式求和，得

4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，

所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，

所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c. 这与题设a，b，c互不相等矛盾，

因此假设不成立，从而命题得证．

例3

证明

∵2x＝3，∴x＝log23. 这说明方程2x＝3有根．

下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．

假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，

则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1，

∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．

∴假设不成立，从而原命题得证．

跟踪训练3

证明

假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β

，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)

当堂训练

1．B

2.B

3.D

4.D 5．证明

假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得Δ1＝4a＋44a－3<0，Δ2＝a－12－4a2<0，Δ3＝2a2－4×－2a<0，2

则1a>或a<－1，3－2

3解得－

23与a≤－或a≥－1矛盾，故原命题成立．

2