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第二章

随机变量及其分布列

2.3.1离散型随机变量的均值

一、教学目标：

知识与技能：

了解离散型随机变量的均值或数学期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．

过程与方法：

理解公式“E(aX＋b)＝aE(X)＋b”，以及“若X～B(n，p)，则E(X)＝np”，能熟练地应用它们求相应的

离散型随机变量的均值或数学期望．

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：离散型随机变量的均值或数学期望的概念．

难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）温故知新

1．分布列：设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，

X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表

X P x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

为随机变量X的概率分布，简称X的分布列．

2．分布列的两个性质：

(1)

pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．

对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。

我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差. 情景引入

某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？

定价为混合糖果的平均价格才合理

把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：

X P 18 3/6 24 2/6 36 1/6 111X18243623(元/kg)236

(二)

探究新知

接下来我们一起学习一下均值的定义

1．均值(或数学期望)：一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X P

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数学期望．

※教师补充：(1)区别ξ与Eξ.

随机变量ξ是可变的，可取不同的值；

均值Eξ是不变的，它是离散型随机变量的一个特征数，由ξ的分布列唯一确定，它反x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

映了ξ取值的平均水平．

(2)区别随机变量的均值与相应数值的算术平均数．

均值表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义上的平均值，不同于相应数值的算术平均数．

章首问题回顾：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；

商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元，

如果遇到雨天则带来经济损失4万元．

假设国庆节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？(商场外) 解：商场外平均效益为10×P(ξ＝10)＋(－4)×P(ξ＝－4)＝10×0.6－4×0.4＝4.4. 提出问题：离散型随机变量X的数学期望E(X)与x1，x2，…，xi，…，xn的平均数

1x＝(x1＋x2＋…＋xn)×，有何关系？

n活动结果：一般地，在有限取值的离散型随机变量X的概率分布中，若p1＝p2＝…＝11pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，E(X)＝(x1＋x2＋…＋xn)×，所以此时X的数学期望就是x1，nnx2，…，xi，…，xn的平均数．

继续探究：根据以前所学我们知道，若一组数据xi(i＝1,2，…，n)的平均数为x，那么另一组数据axi＋b(a、b是常数且i＝1,2，…，n)的平均数为ax＋b. 类似地，我们可以联想得到离散型随机变量X的均值也具有类似的性质：

2．均值的一个性质：若Y＝aX＋b(a、b是常数)，X是随机变量，则Y也是随机变量，它们的分布列为：

X Y P

于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn

＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，

由此，我们得到了期望的一个性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 3、如果随机变量X服从两点分布,那么

EX=0×q+1×p=p

∴EX=p x1

ax1＋b p1

x2

ax2＋b p2

…

…

…

xi

axi＋b pi

…

…

…

xn

axn＋b pn

4、若X~B（

n，P），则EX= n P。

运用新知

三、基础训练

1、随机变量ξ的分布列是

ξ

P 1 0.5 3 0.3 5 0.2 (1)则Eξ=

.

(2)若η=2ξ+1，则Eη=

.

2、随机变量ξ的分布列是

ξ

P 四、例题讲解

4 0.3 7 a 9 b 10 0.2 Eξ=7.5,则a=

b=

. 例1篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的均值．

解：因P(ξ＝1)＝0.7，P(ξ＝0)＝0.3，所以Eξ＝1×0.7＋0×0.3＝0.7. 活动结果：此为两点分布，可猜想当X服从两点分布时，有E(X)＝p. 继续发问：两点分布是一个特殊的二项分布，那么一般地，若X～B(n，p)，则E(X)＝？

活动结果：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.证明如下：设1－p＝q. knkknk∵P(X＝k)＝Ck＝Ck，

np(1－p)npq－－00n1n12n2knkn0∴E(X)＝0×Cnpq＋1×C1＋2×C2＋…＋k×Ck＋…＋n×Cnnpqnpqnpqnpq. －－－n！n·(n－1)！k－1又∵kCk＝k·＝＝nCn－1，

nk！(n－k)！(k－1)！[(n－1)－(k－1)]！0n11n21k1(n∴E(X)＝np(C0＋C1＋…＋Ckqn－1pqn－1pqn－1p－－－－－1)－(k－1)1n10＋…＋Cnq)＝np(p＋n－1p－－q)n1＝np. －故若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 例2 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4 个选项, 其中仅有一个选项正确.每题选对

得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9.学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机

地

选择一个, 求学生甲和学生乙在这单元测验中

的成绩的均值。

解:设学生甲和学生乙在这单元测验中选对的题数分别是X1和X2,

则

X1～B(20,0.9),X2～B(20,0.25)

EX1=20X0.9=18,

EX2=20X0.25=5

由于每题选对得5分,所以学生甲和学生乙在这次测验中的

成绩分别是5X1和5X2因此,他们在测验中的成绩的均值分别是

E(5X1)=5EX1=5X18=90,

E(5X2)=5EX2=5X5=25 思考: (1)学生甲在这次单元测验中的成绩一定是90分吗? 不一定.他的成绩是一个随机变量,可能取值为

0,5,10,…95,100 (2) 他的均值为90分的含义是什么? 含义是:在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是90分

例3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失

10 000元.为保护设备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费3 800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2 000元.但围墙只能防小洪水. 方案3:不采取措施,希望不发生洪水.

试比较哪一种方案好? 解:用X1,X2和X3分别表示三种方案的损失

采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3 800元,

即X1=3 800 采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000元;

没有大洪水时,损失2000元,即

62000，有大洪水X22000,无大洪水

采用第3种方案,有于是, ,有大洪水；60000X310000，有小洪水；0，无洪水

EX1=3800, EX2=62000XP(X2=62000)+2000XP(X2=2000) =62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600 EX3=60000XP(X3=60000)+10000XP(X3=10000)+0XP(X3=0)=60000X0.01+10000X0.25=3100 显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案2 五、小结

1．离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平；

2．求离散型随机变量ξ的均值的基本步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由均值的定义求出Eξ.公式E(aξ＋b)＝aEξ＋b，以及服从二项分布的随机变量的均值

Eξ＝np. 六、作业

1.课时检测

七、教学反思：

本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法．通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用．教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上．