1.3 二项式定理（通用）教学设计和教学实录

《二项式定理(一)》教案设计

教材：人教A版选修2-3第一章第三节

一、教学目标

1.知识与技能：

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析(ab)的展开式，得到二项式定理．

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程

（一）提出问题，引入课题

n222(ab)a2abb(ab)引入：二项式定理研究的是的展开式，如：，

3(ab)3? (ab)4? (ab)100? 那么(ab)n的展开式是什么？

【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. （二）引导探究，发现规律

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1、多项式乘法的再认识．

问题1. (a1a2)(b1b2)的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？

问题2. (a1a2)(b1b2)(c1c2)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 3(ab)2、展开式的再认识

3(ab)探究1：不运算，能否回答下列问题（请以四人为一小组进行讨论）：

(1) 合并同类项之前展开式有多少项？

(2) 展开式中有哪些不同的项？

(3) 各项的系数为多少？

3(ab) (4) 从上述三个问题，你能否得出的展开式？

探究2：仿照上述过程，请你推导(ab)的展开式. 3(ab)【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对的n(ab)展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导的展开式4提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

(三) 形成定理，说理证明

n(ab)探究3：仿照上述过程，请你推导的展开式．

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)———

二项式定理

证明：(ab)是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都nkknkk是ab(k0,1,n)的形式，对于每一项ab，它是由k个(ab)选了b，n－knn2

个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数kCn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

34(ab)(ab)【设计意图】通过仿照、展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式． (四) 熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

1. 项数：共有n１项. 2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

各项的次数都等于n．

012knkC,C,C,,C,,CCnnnnnn3. 二项式系数: 依次为，这里(k0,1,,n)称为二项n式系数. knkkCn4. 二项展开式的通项: 式中的ab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示. 即通项为展开式的第k１项: Tk1=Cnaknkbk

nn(1x)(ab)变一变 （1） （2） 例. 求(2x16)x的展开式. 思考：你能否直接求出展开式的第３项？

【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．

例2 求(12x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数. 3

【设计意图】进一步熟悉二项展开式，培养学生运用公式的能力

（四）当堂检测

1.写出（p+q）7的展开式；

2.求（2a+3b）6的展开式的第3项；

3.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（ ）

6565（A）C10 (B) C10 (C) C10 (D) C10

(五) 课堂小结，课后作业

小结:（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

n0n1n1knkknn*(ab)CaCabCabCb(nN)

nnnn公式：

思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程. 作业

巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3 012knC,C,C,,C,,Cnn有何性质．

思维拓展型作业：二项式系数nnn

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教案设计说明

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式，

把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以(ab)3为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．

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