阅读与思考 海伦和秦九韶优秀教学设计

必修五

第一章

阅读与思考：海伦和秦九韶

【教材分析】

本节内容是高中数学必修五的第一章中的阅读与思考中的内容，教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续与拓展。内容的主要设置对象为数学学习程度较好的学生——在完成新课程标准要求的学习之后仍有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式进行证明，同时通过对秦九韶的了解，感受数学文化的魅力，增强民族自豪感。

【学情分析】学生在进入本节课的学习之前，已经学习了三角形面积公式，正弦定理和余弦定理及其简单应用等，具有一定的恒等变形能力。

【教学目标】

1. 知识与技能：

（1）了解海伦公式与秦九韶的“三斜求积术”，并能证明海伦公式；

（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题. 2．过程与方法：

（1）经历证明海伦公式及秦九韶公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；

（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。

3．情感态度价值观：（1）体会到数学中的简洁美、和谐美；（2）了解秦九韶的伟大成就激发民族自豪感，感受数学文化的魅力.

【教学重点】海伦公式及简单应用，秦九韶的伟大成就

【教学难点】海伦公式、秦九韶“三斜求积术”的证明

【教学方法】引导探究、实例运用。

【教学过程】

一、复习引入

111absinCbcsinAcasinB；

222b2c2a22222．余弦定理及推论：abc2bcscosA，cosA等等；

2bc1．三角形面积公式：S3. 练习：△ABC中,a=5，b=6，c=7，求此三角形的面积. 627252526，所以sinA分析：先求得cosA，从而，

267771126

SbcsinA6766.

227二、探究新知

1. 问题1：已知a，b，c是△ABC的三边长，若p1(abc)，则2Sp(pa)(pb)(pc)表示的是△ABC的什么量？

问题猜想：从等式右边的量纲特征，猜想与面积有关.

验证猜想：（1）取特殊三角形（直角三角形或等边三角形）验证.

（2）用前面练习验证：p1(567)9，所以

2Sp(pa)(pb)(pc)943266.

形成结论：若△ABC的三边长为a，b，c，则△ABC的面积为

1Sp(pa)(pb)(pc)，这里p(abc).

2

人们常用古希腊的数学家海伦(Heron)命名这个公式，称它为海伦公式. 2. 探究海伦公式的推导证明方法：有平面几何法，代数法，向量法和余弦定理等多种证明方法，例如用余弦定理的证明大致如下：

111c2a2b222

ScasinBca1cosBca1()

2222ca122c2a2b22

ca()

221c2a2b2c2a2b2(ca)(ca)

2221(ca)2b2b2(ca)2[][]

222abccabbcaabc

22221

p(pa)(pb)(pc).

其中p(abc)

2(ppt展示并介绍海伦以及他的主要成就) 3. 秦九韶的“三斜求积术”

我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”. 在他的著作《数书九章》里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，中斜一十四里，大斜一十五里. 里法三百步. 欲知为田几何？

答曰：田积三百一十五顷.”

这道题实际上是已知三角形的三边长，求三角形面积. 《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂

，余半之，自乘于上. 以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方，得积.” 译成现代式子是

122c2a2b22S[ca()]

42这个式子称为秦九韶“三斜求积”公式. 通过上述证明可以看出：秦九韶公式与海伦公式的本质是一样的! 从中充分说明我国古代已具有很高的数学水平. 秦九韶

(约公元

1 2 0 2～

1 2 61年

) ，字道古，字道古,祖籍为鲁郡(今山东兖州)，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，是我国古代数学家杰出代表之一. 著有《数书九章》，全书为十八卷，共

81题，分九大类. 系统总结和发展了高次方程的数值解法（在必修三《算法初步》中有“秦九韶算法”）和一次同余问题的解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，对数学发展产生了广泛的影响，奠定了其时人难以望其项背的数学地位.他被外国科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”. 如果将秦九韶和意大利文艺复兴时期的风云人物相比,竟有几分相似:他多才多艺,懂得星占、数学、音乐、建筑,还擅长诗文,会骑术、剑术、踢球等. 4. 海伦公式的应用示例

海伦公式除了可以解决“已知三角形三边长求面积”的问题外，还有什么应用呢？

例1

三边长a，b，c的三角形，满足c>a>b，2a=b+c，且它的周长是12，面积是6，试判断这个三角形的形状. 分析：由已知得，a=4，b+c=8，p=6，于是

Sp(pa)(pb)(pc)62(6b)(6c)6，化简得

bc=6(b+c)-33=15，所以c=5，b=3，这个三角形是直角三角形.

设计意图：1.让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程；2.培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的能力.

例2 已知三角形的三边为a，b，c，设p(1)

三角形的面积S1(abc)，求证：

2p(pa)(pb)(pc)；

(pa)(pb)(pc)；

p2ap(pa)(pb)(pc).

(2)

r为三角形的内切圆半径，则r(3) 把BC边上的高记为ha，则ha(P20，B组

第2题) 三、小结并归纳三角形面积公式

引导学生回忆、整理

四、课后延伸

1. 搜集并了解秦九韶的更多信息，进一步了解我国古代的数学成就. 2. 思考或查找资料，你能用向量的方法证明海伦公式吗？

3. 海伦公式能否推广到四边形？

设计意图：1. 充分利用数学史实的文化价值，培养学生爱国主义情操，增强民族自豪感.

2. 与向量关联，尝试用向量证明，并思考能否推广，体现学生的思维的程序性、创新性和批判性以及分析问题、解决问题的能力. 【板书设计】（略）