1.3 二项式定理（通用）第二课时教案

《二项式定理》教案

一、教学目标

1.知识与技能：

（1）能利用计数原理证明二项式定理；

（2）理解并掌握二项式定理，并能简单应用.

2.过程与方法：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识．

3. 情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。

二、教学重点、难点

重点：探究并归纳用计数原理分析(ab)2的展开式的形成过程，并依此方法得到二项式定理．

难点：①展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数如何确定？

三、教学方法与工具

采用分组合作探究的形式分析解决问题.采用多媒体教学手段.

四、

教学过程

探究一：重新认识(ab)2得来的过程

【问题1】2个容器中分别有a、b玻璃球各一个，每次从2个容器中各取一个球，有3种不同的取法？各种取法有多少种？

0第一种取法：都不取b球（全取a球）

：即C2

种。

第二种取法：取1个b球（1个b球1个a球）:即

=2种。

第三种取法：

取2个b球（不取a球）

：即

=1种。

【问题2】类比上面的方法，用组合知识来考察，展开ababab

展开式中有哪些项？各项系数各是什么？

因为(ab)2可以看成2个（a+b）相乘，即(ab)2(ab)(ab)

=

a×a + a×b+ b×a + b×b （1）

由上述过程可知：（观察图形）

第一步：在第一个因式中有两种选择，即选择a或b

，

第二步：

在第二个因式中也有两种选择，即选择

，

第三步：将两个因式的选择相乘, 即得展开式的一项。

由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(ab)2的展开式共有

22 =4 项。

展开合并后其项的形式为（先不考虑系数）：

．．．．．．a2-0b0=

，a1b1=

，a0b2-0=

，共

3

项。

1 2

提示：我们可以以b为研究对象，由于b选定后，a的选法也随之确定

两个因式中

都不取b

两个因式中

恰有1个取b

两个因式中

2个都取b

取法多少种

展开式中对应的项

（不含系数）

展开式中项对应的系数

（用组合数表示）

k

bk

(k0,1,2)

C2项的通式

综上得：(a+b)２＝

a２＋

ab＋

b２

探究二：观察(ab)2的的推导方式，能否类比得到(ab)3的展开式

因为(ab)3可以看成3个（a+b）相乘，即(ab)3(ab)(ab)(ab)

（1）

由上述过程可知，

第一步：在第一个因式中有两种选择，即选择

a或b，

第二步：在第二个因式中有两种选择，即选择

，

第三步：在第三个因式中有两种选择，即选择

，

第四步：在将三个因式的选择相乘, 即得展开式的一项。

由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(ab)3的展开式共有

23 =8

项。展开合并后其项的形式为（先不考虑系数）：

．．．．．．a3-0b0=

，a3-1b1=

，a3-2b2=

，a3-3b3 =

，共

4 项。

提示：我们可以以b为研究对象，由于b选定后，a的选法也随之确定

三个因式中

都不取b

三个因式中

恰有1个取b

三个因式中

恰有2个取b

三个因式中

3个都取b

取法多少种

展开式中对应的项

（不含系数）

展开式中项对应的系数

（用组合数表示）

2

项的通式

C3k

bk

(k0,1,2,3)

综上得：（ａ＋ｂ）3＝

ａ3＋

a2b＋

ab2+

b3

探究三：类比可得(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)

=

. 有特殊到一般猜想可得:

(a+b) n =

(nN). 探究四:

如何证明你的猜想？

证明：(ab)n可以看成n个（a+b）相乘，即(ab)n(ab)(ab)(ab)n个(ab)

由分析可知，第一步：在第一个因式中有两种选择，即选择

a或b ，

第二步：

在第二个因式中有两种选择，即选择

a或b，

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

第n步：在第n个因式中有两种选择，即选择

，

第n+1步：当n个因式中的a或b都选定后,才能得到展开式的一项。

因此，

由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(ab)n的展开式共有

2n项。nn-1n-22n展开后合并其项的形式为（先不考虑系数）：

a

，

ab ，

ab

，，

b .共

n+1项。

……．．．．．．下面我们来研究一下项的系数，可以以b为研究对象，由于b选定后，a的选法也随之确定。

即an的系数：在n个因式中都不取b的情况有

种，则an前的系数为

．

an1b的系数：在n个因式中恰有1个取b的情况有

种，则an1b前的系数为

．

an2b2的系数：在n个因式中恰有2个取b的情况有

种，则an2b2前的系数为

．

………………………………………………………………………………………………

ankbk(k0,1,2,3....n)的系数：在n个因式中恰有k个取b的情况有

种，

则ankbk前的系数为

．

………………………………………………………………………………………………

bn的系数：在n个因式中n个都取b的情况有

种，则bn前的系数为

．

综上得：(a+b) n =

(nN).

新知：二项式定理

0n1n-1kn-kknn(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb(n∈N) 上述公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中

3

knkkk（k＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数，式中的Cnab叫做二项展开式的Cn通项，用符号

TK1表示，即通项为展开式的第

k+1 项. knkkTk1Cnab

探究五：二项式定理具有哪些公式特征

（1）项数：_______项; （2）次数：_______次，字母a按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b按升幂排列，次数由____递增到______；

（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；

思考：在二项式定理中，若设a1，bx，

则有：(1x)n

. 典型例题

例1.求

的展开式。（提示：式中谁代表二项式定理中的a，谁代表b）

例2已知（

）不展开，直接求第二项的系数和二项式系数。

课堂练习：写出(2x1)4的展开式。

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