1.3 二项式定理（通用）教学实录及点评

《二项式定理》教学设计

教材：人教A版选修2-3第一章1.3 授课教师：泉州市培元中学数学组

蔡俊毅

一、教学设计说明

二项式定理是初中多项式乘法的推广，是计数原理、排列组合的一种具体应用，也是学习概率分布列的基础。

本节课的重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”和“二项式定理的初步应用”。

本节课的难点是用计数原理分析二项展开式的形成过程，进而发现二项式定理的形式。为突破这一难点，以(ab)展开式为主体进行分析。

教学中采用“问题——探究”式的方法，培养学生观察、分析、归纳、总结的能力，体会从特殊到一般的思维方式，并渗透化归与转化的数学思想方法。

本节课以“星期几”的余数问题进行引入，激发学生兴趣，结尾又回过来解决问题，首尾呼应，即加深了对定理的掌握，也顺带研究了定理的一个应用——整除和余数问题。

另外，本节课还加入(abc)的展开式特定项问题，再次体现了定理的形成过程。

54二、教学目标

1.知识与技能：

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳、总结的能力，以及化归与转化的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

三、教学重点、难点

重点：使学生掌握二项式定理的形成过程；二项式定理的初步应用. 难点：用计数原理分析二项展开式的形成过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 四、教学过程

（一）提出问题，引入课题

问题1：

(1)今天是星期五，那么7天后的这一天是星期几? （星期五） (2)如果是一个月（30天）后的这一天？

（星期天） (3)如果是一年（365天）后的这一天？

（星期六） (4)如果是

8问题2：

2018天后的这一天呢？ (ab)2a22abb2（(ab)(ab)a2abbab2）

(ab)3a33a2b3ab2b3

（

(ab)(ab)(ab)(ab)(aabbab)

1 22

a3a2babaab2ba2babb2ab3

）

再者(ab)？

(ab)4100还能用上述方法吗？显然，我们得寻找更好的方法！

？（二）分析并证明二项式定理：

猜想：

(ab)

展开后，会是什么样呢？

○1展开式中，每一项是怎样得到的？ 回顾：（教材第10页练习1）乘积

(a1a2a3)(b1b2b3)(c1c2c3c4)展开后共有多少项？（由学生自己总结：展开后的项形如aibjck，由每个因式取出一项相乘而得）

由学生自主发现可按(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)解决问题。

②展开后具有哪些形式的项呢？ 4a4，a3b，a2b2，ab3，b4

③展开式中各项系数是什么？ (ab)4()a4()a3b()a2b2()ab3()b4

也就是每一项在展开式中出现多少次？ (ab)4()a4()a3b()a2b2()ab3()b4

项 a4 a3b a2b2 ab3 b4

都不取b 取一个b 取两个b 取三个b 取四个b 01234系数

C4 C4 C4 C4 C4

0413222344因此：(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b

小结：

0413222344

(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b

02122(ab)2C2aC2abC2b

0312233

(ab)3C3aC3abC3ab2C3b

1(ab)1C10aC1b

0n1n1归纳：(ab)nCnaCnabknkkCnabnnCnb(nN*)

2

证明：（项的结构）各项是从n个因式中各取一个字母相乘得到关于a,b的n次单项式，有a,ann1b,an2b2,,ankbk,,bn共n1项．

（项的系数）

0种；

an项是从n个因式中都不取b，有Cn1种；

an1b项是从n个因式中取1个b，有Cn2种；

an2b2项是从n个因式中取2个b，有Cn……

k种；

ankbk项是从n个因式中取k个b，有Cn……

n种．

bn项是从n个因式中都取b，有Cn0n1n1所以，(ab)nCnaCnab（三）二项式定理：

0n1n1(ab)nCnaCnabknkkCnabknkkCnabnnCnb(nN*)．

nnCnb(nN*)

这个公式表示的定理叫做二项式定理

，公式右边的多项式叫做

(ab)的二项展开kknkk式

，其中Cn

（

k=0,1,2,……,n）叫做二项式系数，其中

Cnab叫做二项展开式的通knkk项，该项是指展开式的第k1项，用Tk1表示，即Tk1Cn展开式共有n1个项。

ab，n请学生分析：

①

二项展开式有多少项？为什么？

②

展开式的每一项由哪几个部分构成？字母的指数如何变化？

③

能否写出展开式的通项？它是展开式中的第几项？

注意：（1）项数规律：共有n1项；

02kn1（2）二项式系数规律：Cn、Cn、Cn、．．．、Cn、．．．、Cn；

（3）指数规律：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；

字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

各项的次数都等于n．

knkk（4）通项是第k1项，即Tk1Cnab，通项是二项式定理的关键项。

（四）二项式定理的应用和拓展：

51、课堂练习1：求(1q)的展开式。

52345分析：(1q)15q10q10q5qq

3

0n1n1对(ab)nCnaCnabknkkCnabnnCnb(nN*)，

kn122特别地，令

a1,bx，则

(1x)C0xCnCnxnCnxkCnxn

n2、例：求(x)的展开式。

1x4分析：(x)x4x61x442414

2xx思考1：展开式的第2项的系数是多少？

分析：第2项的系数是4。

思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？

分析：第2项的二项式系数是C144。

注意二项式系数和系数的区别！！

思考3：你能否直接求出展开式的第4项？

分析：Txk1C4k4kk(x1)k(1)kC4x42k

k3，第4项为T4T31(1)3C4x423思考4：你能否直接求出展开式常数项？

2分析：42k0，常数项为T3T21(1)34。

2xCx242246。

263、课堂练习2：对于(x)的展开式。

2x（1）求展开式的第3项的系数；

（2）求展开式的常数项。

分析：Txk1C6k2(6k)(2x1)k(2)kC6x123k

k2

（1）k2，第3项的系数为(2)C2660。

（2）123k0，常数项为T5T41(2)4C412346x240。

再问：常数项的系数是多少?它的二项式系数又是多少？

分析：

分别是240、C4615。

2254、思维提升：求

(abc)的展开式中abc的系数。

4

分析：(abc)(abc)(abc)(abc)(abc)(abc)，

5个因式中两个取a，两个取b，一个取c，再相乘可得a2b2c，

故展开式中a2b2c的系数为5CC522330。

5、（备用，可作为课后思考）处理问题1（4）

今天是星期五，那么82018天后的这一天是星期几?

分析：820182018

（71）20182017

C0C120187201872017（7C0201872018kCk20187201712018

C20187C2018C20171

2018）则82018除以7所得余数是1，所以是星期六。

小结：二项式定理可用于解决余数或整除问题。

（五）课堂回顾总结：

1、知识方面：二项式定理，通项，二项式系数。

2、思想方法：由特殊到一般；观察、归纳、类比、猜想、证明。

（六）课后作业：

1、教材P37:

A组1、3、4（3）、5 2、【2015全国I理10】(xxy)的展开式中，xy的系数为（

）

A．10

B．20

C．30

D．60 2解析：在(xxy)的5个因式中，2个取因式中x剩余的3个因式中1个取255225x，52212其余因式取y，故xy的系数为C5C3C230.

22232另解：(xxy)(xx)y，含y的项T3C5(xx)y，其中141521(x2x)3中含x5的项为C3xxC3x，所以x5y2的系数为C5C330，故2525选C．

（七）板书设计：

二项式定理

例题与练习

通项

多媒体课件

（屏幕）

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