1.3 二项式定理（通用）优秀课堂实录

《1.3.1二项式定理》教学设计

四川省峨眉山市第二中学 张文革

一、教学目标

1.

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

2. 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

3. 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

二、教学重点难点

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

三、教具准备：多媒体，实物投影仪

四、

课时安排：1课时

五、教学过程

一、新课引入

1.问题思考：今天是星期五,7天后的这一天是星期几呢？15天后的这一天呢？

提示：用各个数除以7，看余数是多少，再用五加余数来推算

若今天是星期五,再过8100天后的那一天是星期几?

8100除以7的余数是多少？

100100

（ab)n(nN)的展开式是什么？

2.归纳猜想

(ab)1ab

222a2abb

(ab)

3(ab)

(ab)48(71)(ab)5=

?=

?

=

?

=

3.问题探究

探究一：（a+b）2是2个(a+b)相乘，即(a+b)2= (a+b)* (a+b) = (a + b)* (a + b)=aa+ab+ba+bb 每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，

(a+b)2的展开式共有2*2=22项，而且每一项a,b次数和都是2且每一项都是a2-kbk(k=0,1,2) 的形式。

对(a+b)2展开式的分析

(a+b)2＝

(a+b) (a+b)

展开后其项的形式为：a2

，

ab ，

b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b 每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20

恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21

恰有2个取b的情况有C22

种，则b2前的系数为C22

(a+b)2 = a2 +2ab+b2

＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2

(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3

= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3

探究二：

(a+b)4＝

(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？

问题：

1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？

2)．各项前的系数代表着什么？

3)．你能分析说明各项前的系数吗？

4. 猜想与证明

请同学们猜一猜:

=？

(a+b)n展开式又是怎样的呢？

0n1n二、二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；[来源:Zxxk.Com]

11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，[来源:学科网][来源:学,科,,K]

r恰有r个取b的情况有Cn种，annrnnrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

0n1n∴(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，⑶它有n1r项，各项的系数Cn(r0,1,n)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnab．

1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

定理赏析

1.系数规律：

012nCn、Cn、Cn、、Cn2.指数规律：（1）各项的次数均为n；

（2）a的次数按降幂排列，由n降到0，

b的次数按升幂排列，由0升到n. 3.项数规律：展开式共有n+1个项

在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：

22(1+x)n=1+C1x+Cnnx+rr+Cnx+nn+Cnx

在上式中，令

x = 1，则有：

022n=Cn+C1+Cnn+r+Cn+n+Cn

三、

学以致用：

例1:求

(

1



2

X

)

的展开式

5解：（12x)501234455C5(2x)0C5(2x)1C5(2x)2C5(2x)3C（2x)C(2x)55110x40x280x380x432x5

求

（

1



)

5

展开式第三项以及其二项式系数，求

x3项的系数

2

xT3C52(2x)240x2二项式系数为C52103x3项T4C5(2x)3-80x3x3项系数-80

引例：若今天是星期五,再过8100天后的那一天是星期几? 解：

8100

∴810010001r（71）C1007100C100799C1007100r9911000C1007C1007100被7除的余数是1，因此

8天后的这一天是星期六.

四、当堂检测

1.写出

pq7的展开式. 2.求

2a3b6的展开式的第三项. 3b2a3.6x32x7求

的展开式的第三项. 4.

的展开式的第四项的二项式系数是, 六、课堂小结

1.

知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。

2.

二项式定理 第k+1项的二项式系数

abn1n1Cn0anCnabCnkankbkCnnbn

2.方法收获：正确区分“项的系数”和“二项式系数”

3.思维收获:类比思想，特殊到一般

七．作业：练习册