探究与发现 组合数的两个性质多媒体教案及点评

1.2.2

组合(二)

学习目标

1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．

知识点

组合的特点

思考

组合的特征有哪些？

梳理

(1)组合的特点是只取不排

组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．

(2)组合的特性

元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．

(3)相同的组合

根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．

类型一

简单的组合应用题

例1

男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员；

(3)既要有队长，又要有女运动员．

反思与感悟

(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．

(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．

跟踪训练1

在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？

(1)任意选5人；

(2)甲、乙、丙三人必须参加；

(3)甲、乙、丙三人不能参加；

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．

类型二

与几何有关的组合应用题

例2

如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.

(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？

(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

反思与感悟

(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．

(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．

跟踪训练2

空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为(

) A．205

B．110

C．204

D．200 类型三

分组、分配问题

命题角度1

不同元素分组、分配问题

例3

有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？

(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；

(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；

(3)分成三组，每组都是2本；

(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．

反思与感悟

分组、分配问题的求解策略

(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种

①完全均匀分组，每组的元素个数均相等．

②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！. ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．

(2)分配问题属于“排列”问题．分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．

跟踪训练3

某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则不同的安排方法的种数为(

)

A．24

B．48

C．96

D．114 命题角度2

相同元素分配问题

例4

将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，

求下列方法的种数．

(1)每个盒子都不空；

(2)恰有一个空盒子；

(3)恰有两个空盒子．

反思与感悟

相同元素分配问题的处理策略

(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．

1(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有Cm可描述为n－1个空中插n－1种方法．－入m－1块板．

跟踪训练4

某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(

) A．4种

C．18种

B．10种

D．20种

1．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(

) A．36种

C．96种

B．48种

D．192种

2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(

) A．A310种

3C．C310A10种

B．C310种

D．30种

3．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有(

) A．210种

C．56种

B．420种

D．22种

4．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有(

) A．25个

C．100个

B．36个

D．225个

5．要从12人中选出5人参加一次活动，其中A，B，C三人至多两人入选，则有________种不同选法．

1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：

(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．

2．有限制条件的组合应用题：

(1)“含”与“不含”问题：

这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．

(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．

(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．

答案精析

问题导学

知识点

思考

组合取出的元素是无序的．

题型探究

3例1

解

(1)第一步：选3名男运动员，有C6种选法；第二步：选2名女运动员，有C24种选法，故共有C3C26·4＝120(种)选法．

(2)方法一

(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．

2341由分类加法计数原理知共有C1C4C3C2C6＝246(种)选法．

4·6＋C4·6＋C4·6＋C4·方法二

(间接法)：不考虑条件，从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的55选法有C56种，故“至少有1名女运动员”的选法有C10－C6＝246(种)．

4(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C844种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，故不选女队长时共有C8－C5种选法．所以既有44队长又有女运动员的选法共有C49＋C8－C5＝191(种)．

5跟踪训练1

解

(1)从中任取5人是组合问题，共有C12＝792(种)不同的选法．

(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36(种)不同的选法．

(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126(种)不同的选法．

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3(种)14选法，再从另外9人中选4人，有C49种选法，共有C3C9＝378(种)不同的选法．

12例2

解

(1)方法一

可作出三角形C3C4＋C2C16＋C6·6·4＝116(个)．

3方法二

可作三角形C310－C4＝116(个)，

112其中以C1为顶点的三角形有C2C4＋C4＝36(个)．

5＋C5·32(2)可作出四边形C4C1C26＋C6·6＋C6·6＝360(个)．

跟踪训练2

A

[方法一

可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，4132231则得到所有的取法总数为C05C5＋C5C5＋C5C5＋C5C5＝205. 方法二

从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得4到所有构成四面体的个数为C410－C5＝205.] 1例3

解

(1)分三步：先选一本有C6种选法，再从余下的5本中选两本有C25种选法，最后13余下的三本全选有C3C2C3＝60(种)．

3种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有C6·5·(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有C1C2C3A36·5·3·3＝360(种)．

22(3)先分三组，有C2但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，6C4C2种分法，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，22EF)，但C26C4C2种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共＝15(种)．

A3而这3种情况，C2C2C26·4·23A3种情况只能作为一种分法，故分配方式有3A3C2C2C26·4·2(4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式·A333＝90(种)．

A3跟踪训练3

D

[5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种．

313当为(3,1,1)时，有C3

5A3＝60(种)，A，B住同一房间有C3A3＝18(种)，故有60－18＝42(种)．2C25C322当为(2,2,1)时，有2·A3A，B住同一房间有C1故有90－18＝72(种)．

3＝90(种)，3C3A2＝18(种)，A2根据分类加法计数原理共有42＋72＝114(种)．] 例4

解

(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．

(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C2然后将剩下的一块隔板与前面任意5种插法，2一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C1C14种插法，故共有C5·4＝40(种)．

(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．

先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．

①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．

②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．

1故共有C1(C25·3＋C3)＝30(种)．

跟踪训练4

B

[由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．

第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．

第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．

2因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C4＝4＋6＝10(种)．] 当堂训练

1．C

2.B

3.A

4.D

5.756