探究与发现 组合数的两个性质优秀完整教案

1.2.2组合数的两个性质

毕节二中

陈仁贵

教学目标：

1掌握组合数的两个性质；

2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题

教学重点：

掌握组合数的两个性质

学习目标：

1、理解组合数的性质，领会组合数性质的推导方法，会应用性质解决有关的数学问题；

2、自主学习，合作交流，探究解题规律和数学思想方法. 3、激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度,会用组合数的性质解决问题. 预习导引：

1.排列与组合的联系与区别是________________________________________

2.组合与组合数的区别是：___________________________________________

3.组合数的两个公式在使用时有无差别_________________________________；

教学过程

一、复习引入：

11组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同

2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n

个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示．

．．．3．组合数公式的推导：

（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：①

先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；②

求每一个组合中m个元素全排列数Am，根据分步计数原理得：An＝CnAm．

（2）组合数的公式：

mmmmmmmn!Anmn(n1)(n2)(nm1)mC或(n,mN,且mn)

Cmnm!(nm)!Amm!mn二、讲解新课：

11

组合数的性质1：CnCnmnm．

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元

素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以从n．．．．个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n



m个元素的组合数，即：mnmCnCn．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

nm证明：∵Cnn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!m又

Cnn!mnm，∴CnCn

m!(nm)!0说明：①规定：Cn1；

②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；

xy③CnCnxy或xyn．

2．组合数的性质2：Cn1＝Cn+Cnmmm1．

m一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,,an1这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cnm1个；不含有a1的组合是从m个．根据分类计数原理，可以a2,a3,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

n!n!mm1证明：Cn

n!(nm1)n!m Cnm!(nm)!(m1)![n(m1)]!m!(nm1)!m(n1)!Cn (nm1m)n!1

m!(nm1)!m!(nm1)!∴Cn1＝Cn+Cn三、应用实例：

mmm1．

9697例1.计算：（1）

C100;

（2）

C99C99;

972．（1）计算：C7C7C8C9；

（2）求证：Cm2＝Cm+2Cm+Cm．

解：（1）原式C8C8C9C9C9C10C10210；

证明：（2）右边(CmCm)(CmCm)Cm1Cm1Cm2左边

3456nnn1n24565664nn1n1n2nn1n

3．解方程：（1）C13C13x12x3；（2）解方程：Cx2Cx2x2x313Ax3．

10解：（1）由原方程得x12x3或x12x313，∴x4或x5，

1x113

又由12x313得2x8且xN，∴原方程的解为x4或x5

xN上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把x4和x5代入检验,这样运算量小得多. （2）原方程可化为Cx3x21313(x3)!(x3)!5Ax3，即CxA，∴，

3x310105!(x2)!10x!∴11，

120(x2)!10x(x1)(x2)!2∴xx120，解得x4或x3，

经检验：x4是原方程的解

四、小结反思

通过本节学习，要求在理解并掌握组合数的性质的基础上，能够运用组合数公式及其性质解决相关问题，并简单了解组合知识在实际中的应用。

我的学习小结与体会：

关于性质2的题目类型有两大类：一类是上标相同，下标递增；另一类是下标递增，上标也递增，并且下、上标之差是一个常数。

也可以通过编拟应用题来进行化简、计算或者证明。

课堂练习：

课后作业：