3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优质公开课教案

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

教学目标

知识与技能: 1.掌握复数代数形式的加、减运算法则; 2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 过程与方法: 培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．

情感态度与价值观: 通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 教学重难点

重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则．

难点:复数加法、减法的几何意义. 一、

引入新课

复习引入

1.虚数单位i：它的平方等于1,即i21;

2.对于复数zabia,bR：

当且仅当b0时,z是实数a; 当b0时,z为虚数; 当a0且b0时,z为纯虚数; 当且仅当ab0时,z就是实数0. 3.复数集与其它数集之间的关系：N4.复数几何意义：

ZQRC. 复数zabia,bR

复平面内的点Za,b

一一对应

zabia,bR

复平面内的向量OZ=a,b

复数一一对应

我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 二、探究新知

探究一:复数的加法

1

1.复数的加法法则

我们规定,复数的加法法则如下: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

提出问题：

(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?

(2)当b=0,d0时,与实数加法法则一致吗?

(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: (1)仍然是个复数,且是一个确定的复数; (2)一致; (3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．

2.复数加法的运算律

实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的z1,z2,z3C,有

z1z2z2z1（交换律）, (z1z2)z3z1(z2z3)（结合律）. 3.复数加法的几何意义

复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则有OZ1(a,b),OZ2(c,d),由平面向量的坐标运算有

OZ1OZ2(ac,bd). 这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(ac)+(bd)i对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

y

Z2(c,d)

Z

Z1(a,b)

O

x

由图可以看出,以OZ1、OZ2为邻边画平行四边形OZ1ZZ2,其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数(ac)+(bd)i对应的向量. 探究二:复数的减法

类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗? 1.复数的减法法则

我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足

(cdi)(xyi)abi

的复数xyi叫做复数abi减去cdi的差,记作(abi)(cdi).根据复数相等的定义,有

2

cxa,dyb, 因此

xac,ybd, 所以

xyi(ac)(bd)i, 即

(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数. 2.复数减法的几何意义

设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则这两个复数的差z1—z2与向量OZ1—OZ2（即Z2Z1）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示. y

O

Z1Z2

x

三、理解新知

1.复数的加减法法则: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,规定：

z1z2(ac)(bd)i; z1z2(ac)(bd)i.

2.复数加、减法的几何意义：

(1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则. 3.几点说明: (1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(4)复平面内的两点间距离公式:dz1—z2. 其中z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为点Z1和点Z2间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．

四、运用新知

例1.计算：

3

(1)(23i)(5i); (2)(12i)(12i); (3)(23i)(52i); (4)(56i)(2i)(34i); 解:(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i; (2)(12i)(12i)(11)(22)i0; (3)(23i)(52i)(25)(32)i35i; (4)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i. 变式训练: 计算(12i)(23i)(34i)(45)i(19992000i)(20002001i). 解：（解法一）原式(12345619992000)(2345620002001)i

10001000i. （解法二）(12i)(23i)1i; (34i)(45i)1i; …

(19992000i)(20002001i)1i. 将上列1000个式子累加,得

1000(1i)10001000i. 例2.(1)设OZ1,OZ2分别与复数z153i,z214i对应,计算z1z2,并在复平面内作出OZ1OZ2, (2)设OZ1,OZ2分别与复数z113i,z22i对应,计算z1+z2,并在复平面内作出OZ1OZ2. 解：

yyZ

OZ2Z1Z1Z2xO

图1 图2

x(1)z1z2=(5+3i)(14i)(51)(34)i4i.（如图1所示）; (2)z1+z2(13i)(2i)(12)(31)i34i.（如图2所示）. 变式训练: 已知复数z1a23(a5)i,z2a1(a22a1)i(aR)分别对应向量OZ1,OZ2（O为坐标原点）,若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数,求a的值. 答案：a1.

4

例3.已知关于x的方程：x2(6i)x9ai0(aR)有实数根b. (1)求实数a,b的值; (2)若复数z满足zabi2z0,求z的最小值．

解：(1)由题意,得b2(6i)b9ai0,即(b26b9)(ab)i0. b26b90由复数相等的定义得, 解得ab3. ab0(2)设zxyi(x,yR), 由zabi2z0,得(x3)(y3)i2z, 即(x3)2(y3)24(xy)2,整理得(x1)2(y1)28, 即复数z在复平面内所对应的点Z(x,y)的轨迹是以C(1,1)为圆心,半径长为22的圆. 又z的几何意义是Z(x,y)与原点O(0,0)的距离, 如图,由平面几何知识知,zminCACO2222.

变式训练: 复数z的模为1,求z1i的最大值和最小值. 答案: 2+1,21. 五、课堂小结 (一)知识: 1.复数代数形式的加法、减法的运算法则; 2.复数加法、减法的几何意义. 3.几点说明:

(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(4)复平面内的两点间距离公式:dz1—z2.

5

其中z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为点Z1和点Z2间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．

(二)思想方法:类比的思想、转化的思想、数形结合的思想．

六、布置作业 1.计算：(1)(24i)(34i);

(2)(34i)

(2i)(.12.复数6+5i与3+4i对应的向量分别是OA与OB,其中O是原点,求向量AB,BA对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限. 3.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,52i,则由A,B,C所构成的三角形△ABC是 三角形.

4.求复数2i,3i所对应的两点之间的距离．

5.已知复数z满足z+z28i,求复数z. 6.已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,32i,24i,试求:

(1)AO表示的复数; (2)CA表示的复数;

(3)B点对应的复数. 答案: 1.(1)5; (2)22i. 2.9i,位于第三象限; 9i,位于第一象限. 3.直角三角形.

4.5.

5.z158i.

6.(1)32i;

(2)52i;

(3)16i

七、反思

1、本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性．在复数加法的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程理念．

2、对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力．

3、例题和练习的设计遵循由浅入深,循序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次的学生．

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