2.基本不等式优质课教学设计

第2课时

基本不等式

[核心必知] 1．定理1

如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2．定理2(基本不等式) a＋b如果a，b＞0，那么≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．即：两个正数的算术平2均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．

3．算术平均与几何平均

a＋b如果a，b都是正数，我们就称为a，b的算术平均，ab为a，b的几何平均．

24．利用基本不等式求最值

对两个正实数x，y，

(1)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；

(2)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值．

[问题思考] a＋b1．在基本不等式≥ab中，为什么要求a，b∈(0，＋∞)? 2a＋b提示：对于不等式≥ab，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但2是研究的意义不大，而且a，b至少有一个为0时，不能称ab为几何平均(或等比中项)，因此规定a，b∈(0，＋∞)．

a＋b2．利用基本不等式≥ab求最值的条件是什么？

2提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．

考点1

已知a，b，c为正实数，

a＋bb＋cc＋a求证：(1)≥8；

abc(2)a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. [精讲详析]

本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a＋b，b＋c，c＋a分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．

(1)∵a，b，c为正实数，∴a＋b≥2ab＞0，

b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0，

由上面三式相乘可得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥

a＋bb＋cc＋a8ab·bc·ca＝8abc.即≥8. abc(2)∵a，b，c为正实数，

∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，

c＋a≥2ca，由上面三式相加可得

(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2ab＋2bc＋2ca. 即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. ——————————————————

利用基本不等式证明不等式

(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的

结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明．

(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话要搞清楚．

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11．已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac. 3证明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac.∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，①

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.②

在不等式①两边同时加上a2＋b2＋c2，得

3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2. 1∴a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③

3在不等式②两边同时加上2ab＋2bc＋2ac，得

(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ac)．

1∴(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac.④

31由③④，得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac. 3

考点2

19

已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

xy[精讲详析]

本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．

19

∵x＞0，y＞0，＋＝1，

xy19y9x＋(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16. ∴x＋y＝xyxyy9x19当且仅当＝，又＋＝1，

xyxy即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. ——————————————————

利用基本不等式求最值

利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．

(1)拆——裂项拆项

对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．

(2)并——分组并项

目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．

(3)配——配式配系数

有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．

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－2x2＋x－32．求函数f(x)＝(x＞0)的最大值及此时x的值．

x32x＋. 解：f(x)＝1－x33因为x＞0，所以2x＋≥26，得－(2x＋)≤－26，

xx3因此f(x)≤1－26，当且仅当2x＝，

x3即x2＝时，式子中的等号成立．

2由于x＞0，因而x＝6时，等号成立．

26. 2因此f(x)max＝1－26，此时x＝

考点3

利用基本不等式解决实际问题

某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

[精讲详析]

本题考查基本不等式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的长，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决．

设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则有S＝xy，由题意，得

40x＋2×45y＋20xy＝3 200，

由基本不等式，得3 200≥240x·90y＋20xy

＝120xy＋20xy＝120S＋20S，

∴S＋6S≤160，

即(S＋16)(S－10)≤0. ∵S＋16＞0，

∴S－10≤0，从而S≤100. 因此S的最大允许值是100 m2，取得此最大值的条件是40x＝90y，而xy＝100，由此求得x＝15，即铁栅的长应是15 m. ——————————————————

利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约．

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3．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书的单价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝单价－供货价格．求：

(1)每套丛书的单价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？

(2)每套丛书的单价定为多少元时，单套丛书的利润最大？

解：(1)每套丛书的单价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，

10此时每套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，

5书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)，

故每套丛书的单价定为100元时，书商能获得的总利润是340万元．

(2)每套丛书的单价定为x元时，

15－0.1x>0，由得0

x>0，

依题意，设单套丛书的利润为P元，

10100则P＝x－30＋15－0.1x＝x－－30，

150－x100∴P＝－150－x＋150－x＋120，

∵00，

100∵(150－x)＋≥2150－x100150－x·＝20，

150－x100当且仅当150－x＝，即x＝140时，等号成立，

150－x∴Pmax＝－20＋120＝100. ∴每套丛书的单价定为140元时，单套丛书的利润最大．

本节热点命题关注

本课时经常考查基本不等式在求函数最值中的应用，其中，建立函数模型，利用基本不等式求解最值问题是高考的热点．

[考题印证] (江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

[命题立意]

考查基本不等式的应用，考查应用数学知识解决实际问题的能力．

900600600[解析]

由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4x＋xxx≥8900·x＝240，

x当且仅当x＝30时取等号，

故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30. [答案]

30

一、选择题

1．设x、y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则(

) A．x＋y≥2(2＋1)

B．x＋y≤2(2＋1) C．x＋y≤(2＋1)2

D．x＋y≥(2＋1)2

解析：选A

x＞0，y＞0，xy－(x＋y)＝1⇒xy＝1＋(x＋y)⇒1＋(x＋y)≤y≥2(2＋1)．

x2－4x＋552．已知x≥，则f(x)＝有(

) 22x－4x＋y22⇒x＋

55A．最大值

B．最小值

44C．最大值1

D．最小值1 51解析：选D

∵x≥，∴x－2≥. 22x－22＋111∴f(x)＝＝(x－2)＋≥

22x－22x－22 x－2x－211·＝1，当且仅当＝，

22x－222x－2即x＝3时，等号成立．∴f(x)min＝1. a＋b23．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小cd值是(

) A．0

B．1 C．2

D．4 a＋b2x＋y2解析：选D

由题意，得a＋b＝x＋y，cd＝xy，又x>0，y>0，所以＝＝2cdxyxy＋＋≥2＋2yxxy·＝4，当且仅当x＝y时等号成立，故最小值为4. yx4．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，－2)

B．[－2，＋∞) C．[－2,2]

D．[0，＋∞) －1－|x|2解析：选B

当x＝0时，不等式x＋a|x|＋1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥|x|2＝

1|x|＋，

－|x|1|x|＋的最大值．

故a大于或等于－|x|1|x|＋≥2，

由基本不等式可得|x|11|x|＋≤－2，即－|x|＋的最大值为－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)，∴－|x||x|故选B. 二、填空题

112x2＋2·2＋4y的最小值为________．

5．设x，y∈R，且xy≠0，则yx111x2＋22＋4y2＝1＋4＋4x2y2＋22

解析：yxxy

≥1＋4＋2 答案：9 1124x2y2·22＝9，当且仅当4x2y2＝22时等号成立，即|xy|＝时等号成立．

xyxy26．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．

11①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. aba＋b2解析：两个正数，和定，积有最大值，即ab≤＝1，当且仅当a＝b时取等号，4故①正确；

(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝2＋2ab≤4，当且仅当a＝b时取等号，得a＋b≤2，故a2＋b2a＋b2②错误；由于≥＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确；

24

a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，

∵ab≤1，∴－ab≥－1，又a2＋b2≥2，

∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误；

1111a＋bab＋＝a＋b＝1＋＋≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时取等号，故⑤正确．

ab22b2a答案：①③⑤

x2－y27．定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最xy小值为________．

x2－y24y2－x2x2＋2y21x2y解析：因为x>0，y>0，所以x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝＝y＋x≥2，xy2xy2xy2x2y当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．故x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为2. yx答案：2 28．已知a∈R，b>0，且(a＋b)b＝1，则a＋的最小值是________．

a＋b121211解析：∵b>0，且(a＋b)b＝1，∴a＝－b，∴a＋＝－b＋＝－b＋2b＝＋b1bba＋bb－b＋bbb≥2112·b＝2.当且仅当＝b，即b＝1时等号成立，∴a＋的最小值为2. bba＋b答案：2 三、解答题

ab9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋yxy的最小值为18，求a，b.

abbxay＋＝a＋b＋＋≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2，

解：∵x＋y＝(x＋y)xyyxbxay当且仅当＝时取等号．

yx又(x＋y)min＝(a＋b)2＝18，

即a＋b＋2ab＝18，①

又a＋b＝10，②

a＝2，a＝8，由①②可得或

b＝8b＝2.

1410．设x＞0，y＞0且x＋y＝4，要使不等式＋≥m恒成立，求实数m的取值范围．

xyx＋y解：由x＞0，y＞0，且x＋y＝4，得＝1，

414x＋y141y4x∴＋＝·＋＝1＋x＋y＋4

xy4xy4y4x115＋＋≥5＋2 ＝xy44y4x9·＝，

xy4y4x当且仅当＝时等号成立，

xy即y＝2x(∵x＞0，y＞0，∴y＝－2x舍去)，

48此时，结合x＋y＝4，解得x＝，y＝. 33149∴＋的最小值为. xy499－∞，. ∴≥m，即m的取值范围是4411．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地欲建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．

(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)；

(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？

解：(1)由已知，得写字楼最下面一层的建筑费用为4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，

从第二层开始，每层的建筑费用比其下面一层多100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，

分析题意，可得写字楼从下到上各层的建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，

xx－1所以函数表达式为y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)．

2(2)由(1)，知写字楼每平方米的平均开发费用为

510x2＋790x＋9 000fxg(x)＝×10 000＝

2 000xx900x＋＋79≥50×(2900＋79) ＝50x＝6 950(元)，

900当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．

x所以该写字楼建30层时，每平方米的平均开发费用最低．