复习参考题名师教学设计

正

态

分

布

考纲要求：

利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特点及曲线所表示的意义

复习指导：

利掌握好正态曲线的特点，尤其是其中的参数

，

的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率。

基

础

梳

理

1．正态曲线及性质

(1)正态曲线的定义

函数，（x）1e2(x)222

x(,)，其中实数和(0)为参数，我们称，（的图象为正态分布密度x）曲线，简称正态曲线。

．

（2）正态曲线的性质

1、曲线位于x轴上方，且与x轴不相交。

2、曲线上单峰的，且关于x对称。

3、曲线在x处取到峰值1。

24、曲线与x轴围成的面积为1.

5、当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移。

6、当一定时，曲线的形状有确定，越小，曲线越瘦高，表示总体分布越集中；越大，曲线越矮胖，表示总体分布越分散。

2．正态分布

(1)正态分布的定义及表示

b如果对于任何实数a,b(ab)，随机变量X满足p(aXb)＝称X的分布为正态分布，记作N（，2）

（2）正态总体在三个特殊区间内的取值的概率值

a，(x)dx，则1、P(X)0.6827

2、P(2X2)0.9545

3、P(3X3)0.9973

例

题

讲

解：

考向一：正态曲线的性质

1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)这个正态总体的平均数与标准差分别是(

)．

A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 解析

由答案

B

2．(2013湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于(

)．

A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析

由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，

故P(0＜ξ＜2)＝0.3.故选C. 答案

C

3．(2013广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)等于(

)．

A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5 1解析

由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X＞4)＝0.5－P(2≤X≤4)＝0.521－×0.682 6＝0.158 7.故选B. 221e8(x10)28，则1e8(x10)281e2(x)222，可知＝2，＝10.

答案

B

4．(2013山东)已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)等于(

)．

A．0.477

B．0.628

C．0.954

D．0.977 解析

P(－2≤X≤2)＝1－2P(X>2)＝0.954. 答案

C

25、

设两个正态分布N(μ1，σ2σ2)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有(

)．

1)(σ1＞0)和N(μ2，A．μ1＜μ2，σ1＜σ2

B．μ1＜μ2，σ1＞σ2

C．μ1＞μ2，σ1＜σ2

D．μ1＞μ2，σ1＞σ2

答案：A

考向二

正态分布的应用

6、2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．

[审题视点]

根据正态密度曲线的对称性求解．

解

由题意可知ξ～N(8，σ)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35，而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ＞9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．

尝试解答：（2017年全国卷I）

2

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.26 10.12 9.91 9.96 10.13 9.96 10.02 10.01 9.22 9.92 10.04 9.98 10.05 10.04 9.95 21616116112xi9.97，s经计算得x(xix)2(xi16x)0.212

16i116i116i1，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．

ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用估计值用样本平均数x作为的估计值ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的学科网数据，用剩下判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(的数据估计和（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(3Z3)0.997 4，

0.997 4160.959 2，0.0080.09．

【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为0.0026，故X~B(16,0.0026).因此

P(X1)1P(X0)10.99740.0408. X的数学期望为EX160.00260.0416. （2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合

理的. ˆ0.212，由样ˆ9.97，的估计值为（ii）由x9.97,s0.212，得的估计值为ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外，因此需对当天的生产过程进行本数据可以看出有一个零件的尺寸在(检查. ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剔除(剩下数据的平均数为因此的估计值为10.02. 1(169.979.22)10.02，15xi1162iˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剩160.2122169.9721591.134，剔除(下数据的样本方差为1(1591.1349.2221510.022)0.008，

15因此的估计值为0.0080.09.