2.基本不等式优质课一等奖

选修4-5第一讲

1.1 不等式与1.2基本不等式

教学目标

1.掌握不等式的基本性质，会用于大小的比较；

2.掌握不等式中基本不等式和应用，理解两个正数的算术-几何平均不等式及应用. 教学重点和难点

重点是不等式的基本性质与两个正数的算术-几何平均不等式；

难点是两个正数的算术-几何平均不等式及应用. 教学过程

一、复习旧知

不等式的基本性质：

（1）如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba.（2）如果ab，bc，那么ac.即ab，bcac.（3）如果ab，那么acbc.

（4）如果ab,c0,那么acbc；如果ab,c0,那么acbc.n（5）如果ab0，那么anb（nN，n2）.（6）如果ab0，那么nan（bnN，n2）.二、练习巩固

1.如果a、b、c、d是任意实数，则（

）

ab,dabcc

1111C.a3b3,ab0 D.a2b2,ab0ababA.ab,cdacbd B.三、例题讲解

例1 已知a、b为正实数，试比较abba与ab

的大小.

ac例2.设a、b、c、d均为正数，且a最大，，求证adbc.

bd四、基本不等式

定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立

如果a，b0，那么ab2ab叫a、b的几何平均数.ab，当且仅当ab时，等号成立.其中ab叫算术平均数，

2推广：.三个正数的算术-几何不等式

已知a、b、cR，那么a3b3c33abc，当且仅当abc时取等号.

1

如果a、b、cR，那么abc3abc，当且仅当abc时取等号.

3推广到一般情况：对于n个正数a1、a2、a3、、an，

aa2ann则1a1a2an，当且仅当a1a2an时取等号.n五、例题讲解

例3.求函数yx

2的最值.

x例4.求函数yx

16（x4）的最小值.

x4例5.设0x2，求函数f(x)(83x)x的最大值.

例6.求函数yx23(x0)的最小值.

x

六、基本不等式在实际问题中的应用：

例7.某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形铺花钢岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元. （1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时，S最小？并求出这个最小值.

例8.如图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它沿虚线折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒

子的容积最大？

2

七、课堂小结

1.不等式的性质；

2.基本不等式的条件与结论；

3.比较大小的方法；

4.

三个正数基本不等式的应用。

已知a、b、cR，那么a3b3c33abc，当且仅当abc时取等号.

如果a、b、cR，那么abc3abc，当且仅当abc时取等号.

3推广到一般情况：对于n个正数a1、a2、a3、、an，

aa2ann则1a1a2an，当且仅当a1a2an时取等号.n八、课后作业

1.下列不等式中，正确的是（）ab1A.a、bR，则abB.aR，则x22222x2C.aR，则x21122x1D.a、bR，则abab2

2.若a、bR，则使ab与11同时成立的充要条件是ab

3.比较(x3)(x7)和(x4)(x6)的大小.

4..已知x、y、zR，求证(xyz)327xyz.

5.已知a、b、cR，求证

bcacababc3.

abc6.求y(1cos)sin的最大值.

2

7..制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平2方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，求此

圆柱形桶的底面半径和高为多少？

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