一 数学归纳法优质课教案整理

2.3

数学归纳法教学设计（第一课时）

三维目标：

1. 知识与技能

（1）通过多米诺骨牌实例探究，类比得出数学归纳法的产生过程，并理解数学归纳法的原理与实质；

（2）掌握数学归纳法证明的两个步骤，初步会用“数学归纳法”证明与自然数有关的简单命题；

（3）通过数学归纳法进一步理解归纳法的思想，并理解数学归纳法中的核心----递推思想. 2. 过程与方法

（1）通过引领学生探究某些问题的证明，认识到综合法、分析法以及反证法的不足， 体会学习数学归纳法的必要；

（2）通过多米诺骨牌，经历知识产生与形成的一般过程，培养学生观察、分析、逻辑推理及归纳概括的能力，体会数学思想方法的广泛性，感受数学的博大与精深；

（3）通过师生、生生的互动交流过程，从各层次认识所学问题和方法的本质，享受这个过程所带来的各种认识和收获，在学习交流中不断提高辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力. 为下一步的学习奠定良好的基础. 3. 情态与价值观

（1）引导学生通过论证相关问题，总结数学归纳法的思想方法，体会数学推理方法的思想和本质，培养学生求真务实的科学态度和积极进取的创新精神，培养学生辩证唯物主义观点，提高学生的思维推理能力. (2) 通过学习数学归纳法的证明方法，使学生拥有实事求是的态度和严密的逻辑性.使学生不断认识和体会数学知识的深刻内涵和应用价值，从而激发学生学习数学的兴趣；

（3）通过引领学生利用数学归纳法论证各类数学问题.不断培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学意识和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神，并通过学科教学逐步引导学生形成正确的人生观和价值观. 教学重点：

1

数学归纳法的原理及步骤

教学难点：

数学归纳法中递推思想的理解

教 具：多媒体 几何画板

教学方法：设疑探究、分层推进教学法

教学过程：

一、设疑导入：

前面我们学习了合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明，进一步认识了数学中常见的推理论证的方法. PPT展示下列问题分别采用的证明方法是？

(1)3725；(2)已知tansina，tan-sinb，求证（a2b2)216ab. (3)证明3是无理数.

学生回答完成这三道题分别采用的证明方法：分析法，综合法，反证法. 请学生思考：122232n2n(n1)(2n1)（nN*）的证明方法？

6采用分析法，综合法，反证法能完成上述等式的证明吗？显然都不能，这就需要我们寻找新的证明方法. 二、创设情境,引入主题

PPT展示“多米诺骨牌游戏”，同学们都见过或玩过多米诺骨牌游戏吗？播放多米诺骨牌录像. 几何画板展示多米诺骨牌. 提问：大家想一下满足怎样的条件，所有多米诺骨牌才能都能倒下：

(1) 第 块骨牌倒下；

(2) 任意 的两块骨牌， 块倒下一定导致 倒下.

只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以 倒下． 将“多米诺骨牌原理”类比到数学式子的证明中：

多米诺骨牌游戏原理

（1）第一块骨牌倒下. 数学命题的证明方法

（1）第一步成立

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块（2）任意相邻的两步，前一步成立一定导致后倒下一定导致后一块倒下. 一步成立 .

2

根据（1）和（2），可知不论有根据（1）和（2），可知命题全部成立. 多少块骨牌，都能全部倒下. 由此，尝试着归纳出这种方法的原理及步骤，类比得出：

【数学归纳法的原理及步骤】

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0N*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k(kn0,kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法

有了此法，以前的一些猜想就可进行证明了，而且还可论证更丰富的数学问题. 三、应用举例：

例1

用数学归纳法证明122232n2n(n1)(2n1)（nN*）

6

【分析】证明与自然数n有关的等式问题，用数学归纳法还是比较方便的，要注意数学归纳法的步骤的规范性，不要丢掉关键的字或词，如：当n=k+1时命题也成立中的“也”字. 【证明】(1）当n=1时,左边=12=1，右边=1 ∴n=1时，等式成立. (2) 假设n=k（k∈N*）时，等式成立，即122232k2

那么，当n=k+1时

左边 = =12+22+…+k2+(k+1)2

k(k1)(2k1)

6k(k1)(2k1)(k1)26k(k1)(2k1)6(k1)2(k1)(k2)(2k3)66

=右边

∴n=k+1时，原不等式也成立. 由（1）、（2）知当n∈N*时，原不等式都成立.

【点评】数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

3

再看一下证明步骤结构图：

命题对所有从n0开始的正整数n都成立. 练习

用数学归纳法证明

1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝n2

例2

用数学归纳法证明：

122334n(n1)（黑板板书）

注意

：

1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要，两步骤缺一不可. 2. 第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法. 3. 最后一定要写“由（1）（2）……”

四、小结：

知识线：

（1）数学归纳法的原理与实质————类比多米诺骨牌原理；

（2）数学归纳法的步骤；

（3）数学归纳法中的递推的内涵. 思想方法线：

（1）数学归纳法；

（2）递推的思想方法. 题目线：

（1）利用数学归纳法证明与自然数n有关的等式问题；

（2）利用数学归纳法证明关于数列的公式（通项、前n项和）；

（3）利用数学归纳法证明与自然数n有关的不等式问题；

4 验证n= n0 时命题成立.

若n = k ( k ≥n0

，k ∈ N* ) 时命题成立，

证明当n=k+1时命题也成立.

n(n1)(n2). 3

（4）利用数学归纳法证明与自然数n有关的平面几何问题；

（5）利用数学归纳法证明与自然数n有关的整除问题. 五、针对训练 巩固提高：

1．用数学归纳法证明1aa边所得的项为( ) A. 1 B. 1+a C. 1aa2 D. 1aa2a3

2. 用数学归纳法证明111123411112n12nn1n21

2n2an11an1(nN*,a1),在验证n1成立时,左1a(nN*),则从k到k+1时,左边所要添加的项是( ) A. 111111 B. C.  D.

2k12k22k42k12k12k23．用数学归纳法证明1111nn(nN,n1)时，在第二步证明从n＝k到2321n＝k＋1成立时，左边增加了的项数为 . 4．用数学归纳法证明nN*,1111nn1时，当nk1时，在假设的基础上2322不等式两边应该增添的项是 .

三、解答题

5．用数学归纳法证明：

（1）135(2n1)n2. (2) 12222n12n1. （3）

5 1111n. 133557(2n1)(2n1)2n1

6．已知数列给出证明.

附加题：

1111,,,,,,计算S1,S2,S3,由此推测计算Sn的公式，并122334n(n1) 数列an满足Sn2nan,nN*,先计算前4项后,猜想an的表达式,并用数学归纳

法证明.

6