三 反证法与放缩法名师教学设计2

课

题：

不等式的证明方法：放缩法目的要求： 重点难点： 教学过程：

一、引入：

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

二、典型例题：

例1、若n是自然数，求证11112.

2222123n证明：1111,k2,3,4,,n.

k2k(k1)k1k11111111

222211223(n1)n123n11

111111)

1223n1n1

=22.

n1111注意：实际上，我们在证明22222的过程中，已经得到一个更强的123n11111结论22222，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。

n123n

=()()(

11113.

112123123n111k1,（k是大于2的自然数）

证明：由123k122221111

得1

112123123n11n11112313.

1123n11122222n112例2、求证：1

abcd2

abdbcacdbdacabcd证：记m =

abdbcacdbdac例3、若a, b, c, dR+，求证：1

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三、小结：

四、练习：

1、设n为大于1的自然数，求证

2、设n为自然数，求证(2)(2

五、作业：

A组

1、对于任何实数x，求证：

2（1）xx111111.

n1n2n32n21n352n11)(2)(2).

nnnn!312；（2）1xx1.

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2、设ab，求证：

（1）a23b22b(ab)；（2）a46a2b2b44ab(a2b2).

3、证明不等式a4b4a3bab3. 4、若a,b,c都是正数，求证：(abc)(a3b3c3)(a2b2c2)2.

5、若abc0,

求证

a2ab2bc2cabcbaccab.

ab2，并指出等号成立的条件. babcacababc3.

7、设a,b,c是互不相等的正数，求证：abc6、如果a,b同号，且均不为0. 求证：8、已知三个正数a,b,c的和是1，求证这三个正数的倒数的和必不小于9. 9、若02，则1sincos2. 11)(1)9.

xy10、设x,yR，且xy1,求证：(11x231；11、已知x0，求证：（1）x2（2）2. 2x1x22b2a2ba1112、设a,b是互不相等的正数，求证：ababab8.

13、已知a,b都是正数，求证：

（1）(1ab)(1ab)9ab;（2）(abab)(abab)9ab.

14、已知abc1,xyz1,求证：axbycz1.

15、已知ab1,xy1,求证：axby1.

16、已知a,b,c,d都是正数，且有x

求证：xy(acbd)(adbc)

17、已知a1,a2,a3,an都是正数，且a1a2a3an1，

求证：(1a1)(1a2)(1a3)(1an)2n

18、设ABC的三条边为a,b,c,求证abbccaabc2(abbcca).

222222222222222222222a2b2,yc2d2

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19、已知a,b,x,y都是正数，设ab1,uaxby,vbxay.

求证：uvxy.

11112.

n1n2n33n1111112221.

21、若n是大于1的自然数，试证2n12n3n20、设n是自然数，利用放缩法证明不等式B组

xyzxxyzz,求证：.

abcaabccasinxbabab23、设ab0，试用反证法证明不能介于与之间。

ababasinxb1111724、若n是自然数，求证2222.

4123n22、已知a,b,c,x,y,z都是正数，且

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