二 用数学归纳法证明不等式教学创新设计

4.2 用数学归纳法证明不等式

教学目标：

1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，

2、理解数学归纳法的操作步骤，

3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式. 教学难点：理解经典不等式的证明思路. 教学过程：

一、复习准备：

12221. 求证：13352. 求证：1n2n(n1),nN*. (2n1)(2n1)2(2n1)1112341n,nN*. n21二、讲授新课：

1、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。

2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．

（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；

（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，

根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；

（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；

（3）活用起点的位置；

（4）有的试题需要先作等价变换。

三、应用举例：

例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论. 分析：试值n1,2,3,4,5,6

→

猜想结论

→

用数学归纳法证明

→

要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2….

证明：（略）

小结反思：试值→猜想→证明

巩固练习1：已知数列an的各项为正数，Sn为前n项和，且Sn的公式并证明你的结论. 解题要点提示：试值n=1,2,3, 4，

→

猜想an

→

数学归纳法证明

例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN). 要点：|sin(k1)||sinkcoscosksin||sinkcos||cosksin|

|sink||sin|k|sin||sin|(k1)|sin|

证明：（略）

例3：证明贝努利不等式. (1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)

分析：贝努力不等式中涉及到两个字母，

x表示大于-1且不等于0的任意实数，n是大于1的自然数，用数学归纳法只能对n进行归纳

巩固练习2：试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N且a、b、*11(an)，归纳出an2anc互不相等时，均有an+cn＞2bn. 解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=bnn, c=bq (q＞0且q≠1). ∴

a+c=…. qacn ancn*当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证＞()(n≥2且n∈N). 221k+1k+1kak1ck11k+1k+1k+1k+1k…. 当n=k+1时，(a+c+a+c)＞(a+c+a·c+c·a) 424=ack1kkacack+1(a+c)(a+c)＞()·()=() . 24223. 小结反思：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩. 四、巩固练习：

111tan(2n)1. 用数学归纳法证明：

(1. )(1)....(1)ncos2cos4cos2tan2. 已知nN,n2,证明：五、课堂小结：

六、布置作业：

教材P53 3、5、8题.

1211n1n211. 2n