二 一般形式的柯西不等式PPT配套教学设计内容

3.2 一般形式的柯西不等式

一、教学目标

认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题. 二、课时安排

1课时

三、教学重点

1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．

2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．

四、教学难点

1．理解定理证明中的函数思想．五、教学过程

（一）情景引入

当

时，

时等号成立.

，将平面向量的坐标代入，观察图，从平面向量的几何背景可以得到

化简得二维形式的柯西不等式

，当且仅当

时，等号成立.

，将空间向量的坐标代入，类似地，从空间向量的几何背景可以得到

化简得三维形式的柯西不等式

，

[来源学科网]

,两边平方可得

，当且仅当

共线时，即

=0,或存在一个数

,使得

时，等号成立. 当且仅当

猜想：n维向量的坐标？一般形式的柯西不等式？

（二）一般形式的柯西不等式

教材整理1

一般形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则

22222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥

.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝

(i＝1,2，…，n)时，等号成立．

1

教材整理2 理解与应用柯西不等式

柯西不等式反映的是任意两组实数，其对应项“相乘”之后“求和”再“平方”这三种运算不满足交换律，即一组序列的

个实数的平方和与另一组序列的

个实数的平方和之积不小于两组序列的

个数的顺序积的和的平方或者是两组序列的

个数的乱序积的和的平方.

≥

或

(

,

)

（三）重难点精讲

例1

已知

，求

的最小值. 【精彩点拨】

由于

，以及

的形式，联系柯西不等式可以通过构造

作为一个因式解决问题. 【自主解答】

根据柯西不等式，有

，

所以

，当且仅当

,即

时，

取最小值.

规律总结：1.利用柯西不等式时，需要适当改变原式的结构

例2设

为互不相等的正数，求证：

+

. 【自主解答】

由于

(

+ )

]

因为

为互不相等的正数，故等式

不成立，所以

+

. [再练一题] 1．

设

,且

，求证：

.

【解】

因为

,且

，

故

2

.

所以

.

规律总结：2.利用柯西不等式时，需要适当拆分原式中的常数.

例3

求函数

的最值. 【精彩点拨】

由于

不是常数，故需要将

的系数进行适当配凑以保证出现常数结果. 【自主解答】

=

当且仅当

[再练一题] 2．

求函数

的最值. 【解】

=

,即

时，函数有最大值

.

当且仅当

,即

时，函数有最大值

. 规律总结：3.利用柯西不等式时，需要适当配凑系数以保证出现常数结果.

例4 求实数

的值使得

+

取到最小值. 【自主解答】假设存在一个数组

使得

的值与

无关

即

与

无关,令

,即

,

取

则

, 则

+

即

+

. 当且仅当

,即

时取等号，即最小值为

规律总结：4.利用柯西不等式时，需要适当配凑数组以保证出现常数结果. 3

（四）归纳小结

1.利用柯西不等式时，需要适当改变原式的结构. 2.利用柯西不等式时，需要适当拆分原式中的常数. 3.利用柯西不等式时，需要适当配凑系数以保证出现常数结果. 4.利用柯西不等式时，需要适当配凑数组以保证出现常数结果. 六、板书设计

3.2 一般形式的柯西不等式教材整理1

一般形式的柯西不等式

教材整理2

定理的理解与应用

七、作业布置

同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式

八、教学反思

例3：

例4：

例1：

例2：

[来源:Z#xx#k.Com]

学生板演练习

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