阅读与思考 九连环教学设计

等比数列的前n项和

第一课时

一、应用创新点

《等比数列的前n项和》这节课在教学引入部分加入了有趣的故事视频,吸引学生的注意力,提高学生的学习兴趣.例题讲解部分实行讲练结合的形式,有效的提高学生的学习效率.本节课加入了高考题型中的数学文化的内容,用古诗的形式出题,让学生小组讨论建立模型,提升学生的理解能力,同学之间也团结有爱. 二、教材分析

从教材的编写顺序上来看《等比数列的前n项和》是数学必修五第二章《数列》第五节的内容,它是《等差数列的前n项和》与《等比数列》内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系,等比数列实质上也是一种特殊的函数.就知识的应用价值上来看,等比数列的前n项和是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用.另外,它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看,等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想,有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 《等比数列的前n项和》这部分内容授课时间2课时,本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用,教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系. 三、学情分析

从学生思维特点和认知结构看,前面学生已经深入学习过函数、等差数列及其前n项和等知识,勉强能够把本节内容与等差数列前n项和进行类比,而本节的公式推导所要求的计算量更大,思维的深刻性更高,这对学生的数学计算能力提出了更高的要求.错位相减法是学生第一次接触,因此如何突破等比数列求和,让学生接受错位相减法,理解并会应用公式是本节课需要突破的关键环节.而且对q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后继学习使用过程中往往会出错.学生虽然具有一定的分析和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但缺乏冷静、深刻,思维上具有片面性、不严谨的特点,对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊. 四、教学目标

知识与技能目标

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题. 过程与方法目标

通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等思维能力. 情感态度与价值观目标 通过小故事的发生发展过程,学生自主探索得到一般结论,培养学生学习数学的积极性,锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神,并且体验学习的成功与快乐,优化学生的思维品质,感悟数学美. 五、教学环境与准备

1.

2.

3.

录播教室

课件

课前小视频

六、教学重难点

重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用. 难点：等比数列的前n项和公式的推导．

七、教学过程

（一）创设情境

国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说:国王要奖赏国际象棋的发明者西萨·班·达依尔,问他想要什么.西萨说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,第三格内给四粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子为止.把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒,都赏给您的仆人吧.”聪明的国王很快算出了西萨所要的麦粒数是18446744073709551615粒. （二）问题探究

问题1：国王是通过什么方法快速计算出西萨所要的麦粒数？

问题2：如何表示西萨所要的麦粒数？

问题3：请问：

构成一个什么数列？

问题4：

是一个什么样的数学问题？

问题5：我们该如何求这个等比数列的和？

①

请问：（1）观察相邻两项的特征,有何联系？

（2）如何将①式从第二项起,每一项提出一个2,会有什么变化？

②

分析：括号里每一项变成与它相邻的前一项.

所以

问题6：还有没有其他方法？若①式两边同时乘以2会有什么变化？

③

①

—③得

所以

（三）类比探究

问题1：对于一般的等比数列

怎样求前n项和？

问题2：怎样能使未知数的量减少？

分析：利用等比数列的通项公式.

⑴

问题3:类比上述计算

的过程,我们可以怎样做？

分析：将⑴式从第二项起,每一项提出公因式q可以得到

问题4：要求出

,是否可以将上式直接除以

？

分析：要对q进行分类.分q=1和q≠1两种情况. 当q=1时,

当q≠1时,

. 问题5：类比上述计算

的第二种过程,我们该如何求等比数列的前n项和？

分析：给

⑴两边同时乘以q,

⑵

⑴-

⑵得

当q=1时,

当q≠1时,

※说明：这种求和的方法叫做错位相减法. （四）成果展示

已知

,n,q 时

已知

,

,q 时

（五）应用公式解决问题

例1.求等比数列

前10 项的和. 解：

变式：求等比数列

前几项的和为 . 求等比数列

第5项到第10项的和.

例2.已知等比数列

中,

求公比q. 解：因为

所以

或

（六）趣味探究

远望巍巍塔七层,红光点点倍加增. 其灯三百八十一,请问尖头几盏灯？

请问：这首古诗给大家呈现一幅美丽的夜景的同时,也留给了大家一个数学问题,你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？

分析：假设塔的最高层为第一层,一次往下,则最低层就是第七层.“红光点点倍加增”可见每层塔灯数正好构成一个等比数列.可以建立等比数列的模型：已知等比数列

,公比

,

,

.求

. （七）课堂小结

这节课我们主要学到了什么？

1.

一个公式

2.

两种方法

3.

三种数学思想

（八）作业设计

课本58页练习1 P61 习题2.5 A组 1、2 八、板书设计

2.5 等比数列的前n项和

1.公式 例1 …

2.注意

（1）等比数列？

（2）

？

（3）数列求和的项数.

九、课后反思

本节课用方程法和错位相减法推出了等比数列前n项和公式,让学生掌握这种求和的方法,并能运用公式解决相关问题,这两种数学思想方法在其他数列求和问题中经常使用.所以对学生的要求不仅仅掌握公式,更重要的是掌握推导公式的方法,等比数列前n项公式是分情况的,在运用中要特别注意分两种情况进行讨论.在教学的过程中,对于老师提出的问题,学生都能够积极的思考,并发表自己的一些独特的思想.例如：在推导公式的过程中,一些学生就提出其他种推导方法.在做练***时成绩不太好的学生积极地上台做.对于他们这些表现,感到很开心,同时我也鼓励和表扬他们,希望他们以后更加努力.