3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计(第二课时)

§3.2.2复数代数形式的乘除运算（教学设计）

兰坪一中

何洱桥

【教学目标】

【知识与技能】

1.理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算；

2.掌握共轭复数及共轭复数的简单性质；

3.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。

【过程与方法】

通过类比多项式乘法的运算法则得到复数乘法的运算法则，继而深入的理解类比的数学思想方法；理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化的思维方式。

【情感态度与价值观】

通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想。

在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。

【教学重点】 复数代数形式的乘除法运算。

【教学难点】 对复数乘除法法则的运用。

【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习。

【教学手段】 多媒体。

【教学过程】

一、复习回顾，新课引入：

1.

复数的概念：形如zabia,bR这样的数称为复数，其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部。

2.复数的分类：

当b0时，abi就是实数；

当b0时，abi是虚数，其中a0且b0时称为纯虚数。 3.复数相等的概念：如果两个复数abi与cdi相等，则等价于ac且bd。

4.复数的加减法运算法则：

（1）设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

（2）复数加法的运算律

对任意的z1,z2,z3C,有

z1z2z2z1（交换律）, (z1z2)z3z1(z2z3)（结合律）.

【设计意图】通过复习回顾复数概念、分类等相关知识,使学生对这一知识结构有个清晰的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减乘除四则运算的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫。

二、师生互动、探究新知：

探究一、复数的乘法运算

1.

利用初中知识如何化简23x1x？

解：原式-22x3x3x23x2x2

2.

类比上题的解题方式，请化简23i1i

解：原式-22i3i3i2-22i3i3(1)5i

3.猜想归纳：乘法运算法则

设z1abi、z2cdia,b,c,dR是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：

z1z2(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi=(ac－bd)+(bc+ad)i

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且

把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数。

224.复数乘法运算律

（1）z1z2z2z1

（2）z1z2z3z1z2z3

（3）z1z2z3z1z2z1z3

【设计意图】通过类比多项式的乘法归纳得出复数的乘法法则，同时加深对复数乘法法则的理解,将多项式的运算通性、通法扩充到复数,有利于提高学生的学习兴趣。 【典例分析】

例3、计算

（1）.(12i)(34i) （2）.(12i)(34i)(2i)

（3）.(34i)(3-4i) （4）.(1i)2

解：（1）.(12i)(34i)34i6i8i2112i

（2）.(12i)(34i)(2i)112i2i2211i4i2i22015i

（3）.(34i)(3-4i)324i916i225

2（4）.(1i)212ii22i

【设计意图】直接运用复数的乘法运算法则进行,从而巩固新知。

探究二、复数的除法运算

1.在例3第3小题中，你可以发现34i,3-4i这两个复数有什么特点？

答：两个复数的实部相同，虚部互为相反数；像这样的复数叫做共轭复数。

2.共轭复数定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

复数Zabi(a,bR)的共轭复数记作Z，即Zabi

注意：zzab

22【设计意图】通过34i,3-4i这两个特殊的复数得到共轭复数的定义，体现数学中从特殊到一般的数学思想方法。同时为学习复数除法法则做铺垫。

3.复数除法定义：

满足cdixyiabi的复数xyix,yR叫复数abi除以复数cdi 的商，记为：abicdi或者abicdi0. cdi4.除法运算规则：

利用cdicdic2d2.于是将abi的分母有理化得：

cdi原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad2i. c2d2cd2c2d2∴abicdi=acbdbcadi. c2d2c2d2点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数cdi与复数cdi，相当于我们初中学习的2232的对偶式32，它们之积为1是有理数，而cdicdicd是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

【典例分析】

例4、计算(12i)(34i)

12i12i34i34i6i8i2510i12解：(12i)(34i)i

2234i34i34i255534i

三、实战演练、巩固新知：

练习1：计算

(1).-21i (2).

12i1i-2-21-2i-24i24i

解：(1).12i12i1-2i5551i1i1i12ii2 (2).i

1i1i1i2

Z练习2：已知Z132i，Z21-4i求Z1Z2，Z1-Z2，Z1Z2，1.

Z2解：Z1Z24-2i Z1-Z226i

Z1Z232i1-4i312i2i8i21110i

练习3：高考链接

（2018新课标3卷）(1i)(2i)

（ ）

A.3i B.3i C.3i D.3i

Z132i32i14i514i514i

1-4i14iZ21-4i171717（2018新课标2卷）i(23i)

（ ）

A.32i B.32i C.32i D.32i

（2017新课标3卷）复平面内表示复数

zi(2i)

的点位于

（ ）

A.

第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

（2016新课标3卷）若z43i，则z

（ ） z4343 A.1 B.-1 C.i D.i

5555【设计意图】通过练习，加深巩固所学知识。

四、课堂小结、巩固反思：

1.乘法运算法则

(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i

说明：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数。

2.共轭复数定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数Zabi(a,bR)的共轭复数记作Z，即Zabi

注意：zza2b2

3.除法运算规则：

bdbcad2iabicdi=ac222

cdcd说明：复数除法的本质是分母实数化。

【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的四则运算法则的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用。深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力。引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化。让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成。

五、布置作业：

课本P111练习1、2、3