阅读与思考 九连环课堂实录【2】

人教版高中数学必修5

2.5.1等比数列的前n项和（第一课时）

教案

教学工作部第五次年会赛课

第二章 数列

§2.5.1 等比数列的前n项和

泸州老窖天府中学 戴素芬

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§2.5.1等比数列的前n项和

（第一课时）

一、

内容和内容解析：

内容：《等比数列的前n项和》是人教版高中数学必修五第二章第五节第一课时。

内容解析：《等比数列的前n项和》是数列这一章中一个重要内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，与前面学习的函数等知识也有着密切的联系。

等比数列的求和问题贯穿古今中外，古有智力游戏“九连环”，现有“购房中的数学”等，数列始于生活，更应使于生活。了解更多的数列知识，为成功的工作生涯发展做准备，是我们的主要学习目标。

二、目标和目标解析

目标：

1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

目标解析：

高中阶段学生一般具有以下基本特点：一是进入青春期，具有好奇、简单、冲动、独立的倾向。二是价值观开始形成，富于幻想，疏于务实。三是自主消费愿望日趋强烈；四是面临着人生第一次重大选择，且选择性具有多重性，如：升学与就业的选择；就业与创业的选择；升学中专业与学校的选择；就业中职业与地域的选择；创业中行业与项目的选择等。这些选择相对其社会经验、知识体系和分析能力而言，难度很大，压力沉重。

生涯教育应提供一个完整经验的学习，使每位学生透过这些经验，学习如何准备及投入即将成为他们人生一部分的工作，具体目标有：

1.

课前老师设置情境问题，让学生亲自操作，探究等比数列的求和问题，

增进学校与整体社会之间的关系，让学校的课程适应人们社会生活的需求，使教育的观念从学校延伸到工作场所与社区。

2.

了解数学中的类比法，初步体会用错位相减法求等比数列的前n项和，

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培养学生数学核心素养。培养学生更具弹性的知识，技能及态度，以适应社区及职场快速变迁的需要。

3.

通过已学知识—等差数列的前n项和，通过公式类比，学生学会探索论

证的思路，选择合适的论证方法和途径予以证明，并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程，以此逐步培养学生的逻辑推理素养。

4.

通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、

应用价值，消除职业导向的教育与普通学术教育之间的鸿沟。

5.本课立足于20世纪40年代美国生涯发展大师Super的生涯理念、理论：如果在成长阶段，没有建立良好的习惯系统、人际互动素养，那么在“建立”期就很难有“好奇心”“勇气”“整合能力”以顺利完成对“属于自己的世界”的探索，从而无法找到一个内心认同、愿意承诺与付出的职业生涯定位。

三、教学问题诊断分析

1.本节课之前，学生已掌握等差数列的相关知识，初步具备类比的思想，但学生对等比数列求和过程中如何消项并不了解，对数列的实际应用价值仍然不了解，利用类比的方法推导公式时，老师逐步引导，在教导抽象的理论内容时，通过适当切身职业导向的经验，引导学生做有效的学习，通过生涯发展教育，让教育回归到育人本质。

2.经过倒序相加无法解决等比数列的求和问题，学生能直观感受等比数列求和的本质——消项，引导学生从不同角度去利用条件，逐步达到消项的目的，并组织语言推导等比数列求和的过程。让学生体会自我觉察到自我认定分辨这一生涯发展教育内涵。帮助学生建立正确的工作理论和工作价值，便于他们做生涯决策，追求所期望的生活形态。

3,3岁后，人们将迎来对生涯具有决定性影响的角色——学生。可是，中国传统的教育是把“教书”“育人”合而为一的，即经师与人师是合一的。建立良好的学习习惯，培养合规律的学科思维，将是这个阶段的关键。基础教育阶段加入“发展”职能，可以直接过渡为“生涯发展”职能。而且，从生涯发展的时间维度可知，生涯发展教育有系统地执行越早，越有价值。

四、教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，利用现代教育技术辅助教学，学生完成发现问题并解决问题，一方面从数学社会价值出发引发学生的探究热情，另一方面自主探究能使学习更富主动性。

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五、教学过程设计

1.章节引入

背景材料：帮助穷人

亲爱的同学们，记得那时我读高一年级时候的梦想，就是考上一所知名大学，成为一名银行理财师。我设想：我利用大学生的创业无息贷款实行下面两种投资方式：

A方案：投资10万元，要求还款方分24个月还款，还款方第一个月还款100元，第二个月还款500元，第三个月还款900元，……，每个月都比上一个月多400元，依此类推，还完24个月。

B方案：投资10万元，要求还款方分24个月还款，还款方第一个月还款1元，第二个月还款2元，第三个月还款4元，……每个月的还款额都是上一个月的两倍，依此类推，还完24个月。

【问题1】师:同学们，你们能通过已学的数学知识计算出我的收益吗？

[教师活动]用媒体出示问题，请学生用代数的方法把A方案收回的总额S24和B方案收回的总额T24表示出来。

[学生活动]同学们分小组讨论。

[教师活动]巡视，并寻找不同表示方法，用媒体展示学生成果。

[教学过程]

展示成果：教师利用投影仪展示学生列出的S24和T24。

S24=24100+2423400（元）=112800（元）=11.28（万）

2T24=1+2+22++223（元）

师：我们可以利用等差数列的前n项和公式计算出S24，但是不能计算出T24。

思考：请你归纳，T24的求解是一个什么样的数学问题？

生1：这是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前24项的求和问题。

师：回想等差数列的前n项和公式的推导，你能得到等比数列的前n项和公式吗？

在推导等差数列的前n项和公式时，用到了倒序相加法以及等差数列的性质。

生2：不能，因为等比数列与等比数列的性质不同，倒序相加之后仍然不能消项化简。

[设计意图]利用两种投资方案，引入等比数列求和，让学生知道我们为什么4

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要研究等比数列的前n项和公式；类比等差数列求和，我们遇到了什么障碍。让学生自我发展，包括生活、生涯与生命主题的发展认知与相关能力、素质提升。培养基础的读、说、写、算等能力。

[阶段小结]通过以上分析,等比数列的性质与等差数列性质的不同导致了倒序相加之后没有达到预想的消项化简的效果，而求和公式的本质，就是要通过消项，达到用有限个项表示多个项甚至无数个项的和，这引发我们思考：

2.公式形成

[教学过程]

【问题2】能否用其他方法消项呢? [教师活动]用媒体出示问题：以1为首项，q为公比的等比数列的前n项和Sna1a2生3:可以。

师:怎样使得项数变少? an1an？

思考：请同学们从多个角度出发，将你消项的过程与小组同学比较,你会得到什么结论?

[学生活动]

学生动手操作，并与小组同学讨论。

[教师活动] 观察，并寻找好的方法。

生4：将上式记为①式，在Sn两边同时乘以q后记为②式，两式相减。教师用投影仪展示学生成果，学生上台讲解。

[学生活动]

学生用投影仪展示并讲解自己的成果

师：那为什么选择乘以q，能说说你的理由吗？

生4：只有乘以q才能产生相同的项。

[教师活动]将学生的成果写在黑板上

。

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a1(1qn)Sn=1q

a1(1qn)师：这位同学推导的公式是Sn=，如果公比q1呢？事实上，公比为1的1q等比数列是存在的，那么当公比q1时，讨论：

【问题3】等比数列的前n项和又该如何表示？

[设计意图]让学生从已经产生的公式出发，思考问题、作出补充,养成严谨推理的习惯，把纠错的权利让给学生,既尊重学生的主体性,又给了生命生涯一个不断精进自强不息的成长历程。

[学生活动]学生讨论公比为1时，等比数列的前n项和的表示。

[教学过程]

师：我请一个小组先来展示一下。

生5：当公比为1时，这个等比数列是一个常值数列，所以前n项和就是n个a1的和，即为na1。

师:为了能完整的表示等比数列的前n项和公式，我们用一个分段函数来表示：

[教师活动]将学生的成果补充完整

。

a1(1qn)Sn=1qna1q1q1

师：该方法通过在等式两边乘以公比q，由此产生了很多相同的项，又通过相减，消去了大部分的项，从而简化求和过程，最终产生了等比数列的前n项和公式，我们称之为错位相减法。然而，等比数列是一个非常特殊的数列，结合等比数列的定义，还有没有其他的推导方式呢？

生6：还可以利用等比例的性质。

[学生活动]

学生用投影仪展示并讲解自己的成果

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师：以上两位同学，利用完全不同的两种方法，推导出同一个公式。而相同之处在于，需要对公比是否为1进行分类讨论。此外，在等差数列中，用首项，末项和项数也可以表示等差数列的前n项和，对此，请思考：

思考：是否有类似的等比数列的前n项和公式？

n(a1an)后，将2n(n1)d。

an=a1+(n1)d代入便得到了第二个求和公式：Sn=na1+2[学生活动]请根据小组化简结果，写出等比数列的第二个前n项和公式？

在推导等差数列的前n项和时，利用倒序相加法推出Sn=[设计意图]

学生亲自体验，感受发现和自我提升的乐趣和喜悦。

[教师活动]观察学生，找出一些示范与学生交流。

a1qan生7：Sn=1qna1q1q1

师：你能给大家演示说明一下吗？

a1(1qn)a1a1qna1anq生7：（演示）Sn=

==1q1q1q[教师活动]板书学生成果，分别将两个公式标记为（公式一）和（公式二）。

师：你能找出两个公式中有哪些基本量吗？

生8：a1,q,an,Sn,n

师：知几求几呢？

生8：知三求二。

[阶段小结]通过类比等差数列的求和，我们通过错位相减法与等比数列的定义及通项公式，先后得出了两个等比数列的前n项和公式，这两个公式有各自的使用条件。但是，在推导过程中，需要对公比是否为1进行讨论。 7

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3.新知应用

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例1．(1)求等比数列,,,,24816的前8项的和．

1,q0，求其前8项和．

243[学生活动]请每位同学独立思考运算。

(2)等比数列{an}中，a1=27，a9=生9：

思考：通过具体实例，你能归纳出选择公式的标准以及具体过程分析吗？

[教学过程]

生9：我观察第一小题，可以得到的信息有，首项，公比和项数，所以直接选择了公式一。

生9：我分析第（2）的时候，首先是用通项公式的变形式计算出公比，然后在已知首项和项数的情况下选择了公式一，最终结果还没有算出来。

[设计意图]及时检测学生掌握知识的程度，加深理解等比数列的前n项和公式中每一个字母所表达的意思.展现对学生之间类似与差别的欣赏。

【练一练】

1.根据下列条件，求相应等比数列{an}的前n项和Sn．

11（1）a13,q2,n6；

（2）a127,q,an.

33[学生活动]请每位同学独立思考运算。

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生10：第1小题与例1（1）一样，直接使用公式一，第2小题直接使用公式二。

2.求等比数列1,2,4，从第5项到第10项的和．

生11：

生12：

师：两位同学谁对谁错呢？错在哪里呢？

生13：第一位同学错了，S10S5是指从第6项到第10项的和. 师：有没有其他的解法？

生14：

[设计意图]让学生更加细微的理解概念，由浅入深，训练学生应用基础知识的能力，培养学生探究的兴趣，加深学生思考.让学生示范自己的学习习惯，个人的技能与态度。

[阶段小结]通过以上例题及练习可知，根据不同的条件，我们可以选择用不同的公式，但是在选择公式时，都需要认清给出的基本量有哪些，以上将基本量直接带入公式，或者将给定的条件转化为基本量解决问题的方法，我们称之为基本量法。

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39例2.等比数列{an}中，a3,S3，求a1和公比q的值．

22生15：板书解答过程

生16：（举手）我有一个避免分类讨论的方法

4.首尾呼应，学以致用

[教学过程] 师：回到本节课开头，在掌握了等比数列的前n项和公式之后，请同学们帮老师作出决策: [教师活动]用媒体出示问题：我应该采用哪种方案投资呢？

[学生活动]计算方案B获得的利润

[教师活动]将学生计算的写在黑板相应的位置上。

1(1224)T24=2241（元）

12[教师活动]利用电脑上的计算器，帮助学生计算最终结果：

T24=2241（元）=16777215（元）1678（万）

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所以B方案获得的利润为：167810（万）1668（万）

师：很显然，B方案获利更多。

[设计意图]

通过首尾呼应，学生学以致用帮助老师作出选择，同时感悟数学的应用价值，让学生了解自己的兴趣爱好，积累更多的知识，为将来的生活或者生涯规划作出准备，比如买房贷款时银行利息的计算；并且在数学学科的长期磨练下，得到更严谨的思维，能在将来步入社会以后对各种问题的准确判断与定位。

5.课后思考：

1.教材P55国王能实现他的诺言吗？

2.某学生家长从2015年到2018年每年的6月1日都到银行存款1000元作为教育储蓄，假定年利率为1%，且每年到期的存款本息均自动转为新一年的定期，假定到2019年6月1日，学生家长到银行不再存款，而是将所有的本息全部取回，则取回的金额是多少元？

6.课堂小结

【问题5】通过这节课的学习，请谈谈你在知识、方法和思想上有哪些收获呢？

[学生活动]请同学独立思考作答。

[教学过程]

生17：我们学习了等比数列的前n项公式。

生18：我们了解了错位相减法。

生19：我们运用了类比，分类讨论的方法。

生20：这个星期回家，我可以帮助妈妈计算哪种还房贷的方式更实惠了。

师：这节课，我们了解了等比数列的前n项和公式的主要内容及其最基本的研究方法，共同探究了等比数列的前n项和两大公式，进一步明确了分类讨论，类比同化的数学思想和方法研究数学问题。接下来我们将继续研究等比数列前n项和的性质，请同学们课后类比等差数列前n项的性质，思考等比数列的前n项和具备什么性质？

[设计意图]

通过对数学知识，数学方法，数学思想几方面进行总结，有利于学生数学思维能力的培养. 学生畅所欲言，在轻松愉悦的气氛中，培养学生归纳总结能力，更好地掌握所学知识. 板书设计：

第二章

数列

2.5.1 等比数列的前n项和

1.

公式一：

2.

公式二：

11

3.

推导方法：

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[设计意图]突出本节课重点。

六、布置作业

A组

1.教材P61习题2.5 A组1 2．在等比数列an中，a5162，公比q3，前n项和Sn242，求首项a1和项数n

3．已知等比数列an前n项之和为Sn， S420，S81640，求a1和q

B组（提升训练）

1．设等比数列an前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q

2．在等差数列an中，

a12,a1220.

（1）求数列an的通项an；

（2）若bna1a2...anb，求数列3n的前n项和.

n [设计意图]巩固本课所学知识；让不同层次的学生都学有所获.在运用的过程中，感悟其中蕴涵的转化思想，增强学生的应用意识。创造每个学生独一无二的生涯发展，允许个体间的求同存异。

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