阅读与思考 九连环教学目标

等比数列的前n项和（第1课时）

一、

教材分析：

（1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书》必修五，数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

（2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。

二、

学情分析：

（1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。

（2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓，表现欲较强，逻辑思维能力也初步形成，

具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，但考虑问题不够冷静，不够深刻，因而考虑问题片面、不够严谨。

（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q＝1这一特殊情況，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

三、

教学目标：

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为: (1)

知识技能目标——理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。

(2)

过程与方法目标——通过对公式推导方法

的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。

(3)

情感态度与价值观——培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。

四、

教学重、难点分析：

教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。

教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。

五、

教法与学法分析：

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的，而是学

生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此，本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力，还学生以活力。

六、

课堂设计：

(一)创设情境，提出问题。(时间设定: 3分钟) [利用投影展示]在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。

为什么呢? [设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性、故事内容紧扣本节课的主题与重点] 提出问题1:同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗? 引导学生写出麦粒总数1+2+

+

+…+

(二)师生互动，探究问题。(时间设定: 5分钟) 提出问题2: 1+2+

+

+…+

究竟等于多少

有学生会说:用计算器来求(老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。) 提出问题3:同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征? (学生会发现，后一项都是前一项的2

倍) 提出问题4:如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两边同以2,

得到另一式: [利用投影展示]

1+2+

+

+…+

(1)

1+2+

+

+…+

(2) 比较(1)、(2)两式，你有什么发现? (学生经过比较发现:(1)、(2)两式有许多相同的项)

提出问题5:将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢? (学生会发现:

=

) [这五个问题的设计意图:层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也让学生感受到这种方法的神奇] 这时，老师向同学们介绍错位相减法，并

提出问题6:同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什么(1)式两边要同乘以2呢? [这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫] (三)类比联想，解决问题。[时间设定: 10分钟] 提出问题7:设等比数列{

}的首项为

,公比为q,求它的前项和

即

学生开展合作学习，讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫学生板书在黑板上。

[设计意图:从特殊到一般，从模仿到创新，有利于学

生的知识迁移和能力提高，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验]

(四)分析比较，开拓思维。[时间设定: 5分钟] 将不同的方法进行分析评价，根据学生的认知状况，可能有如下几种方法：

错位相减法1：

所以,

=

错位相减法2：

所以,

=

可能也有学生会想到，由等比定理得：

因为 = =…=

=

所以即

=

=

所以

=

……

[设计意图:

共享学习成果，开拓思维，感受数学的奇异美] (五)

归纳提炼，构建新知。[时间设定: 3分钟] 提出问题8：由

=

得

对不对？这里的

能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？

时是什么数列？此时

？

[设计意图:

通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，增强思维的严谨性] 提出问题9：等比数列的前n项和公式怎样? 学生归纳出

（

），

，

[设计意图:

向学生渗透分类讨论思想，加深对公式的了解] (六)

层层深入，掌握新知。[时间设定: 15分钟] 基础练习1

已知

是等比数列，公比为

，

（1）若

，

，则

（2）若

，

，则

基础练习2

判断是非：

(1)1-2+4-8+16-…+

=

(2)1+2+

+

+…+

=

(3)

+

+

+…+

=

[设计意图:

通过两道简单题来剖析公式中的基本量、

进行正反两方面的

“短、浅、快”练习，通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征] 例1已知

是等比数列，完成下列表格

题号

(1) (2) (3)

27

-2

8

8 -96

-63

[设计意图:

渗透方程思想，通过公式的正用和逆用，进一步提高学生运用知识的能力，掌握公式中“知二求三”的题型] 练习3 求等比数列

，

，

，…前8项和；

变式1 等比数列，，，…前多少项和为？

变式2 求等比数列，，，…的第5项到第10项的和；

变式3 求等比数列，，，…的前2n项中所有偶数项的和

(先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。) [设计意图:变式训练,深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学生的模式识别能力，渗透转化思] 练习4

有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一:工作一年，月薪五千元;其二:工作一年，第一个月的工资为20元，以后每个月的上资是上月工资的2倍，此时，老板不假思索就选择了第二种方案，于是他们之间就订了一个劳动待遇合同。请你分析一下，老板的选择是否正确? [设计意图:让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学] (七)

总结归纳，加深理解。[时间设定: 2分钟] （1）等比数列的求和公式是什么?应用时要注意什么? (2)用什么方法推导了等比数列的求和公式?

[设计意图:形成知识模块，从知识的归纳延伸到思想方法的提炼，优化学生的认知结构] (八)课后作业，巩固提高。[时间设定:

1分钟] 必做:(1)

P66 练习1 研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论”

选做：求和1

2+2

+3

+4

+…+

[设计意图:为了使所有学生巩固所学知识，布置了 “必做题”、“选做题”，又为学有余力者留有自由发展的空间，布置了“探究题”以利于学生开展研究性学习，拓展学生的视野] 七、

教学反思：

本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。充分体现以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走问主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣