阅读与思考 海伦和秦九韶教学实录

《海伦秦九韶公式》教案与教学设计

----选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修五第一章“阅读与思考”

四川省简阳市石桥中学 余昕伟

【教学内容】:人教版数学必修五《海伦秦九韶公式》 【教材分析】 本节内容是高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分中的内容，《高中数学新课程标准》中并没有做要求。教材中只占用一页篇幅，叙述了秦九韶公式与海伦公式的记载历史，并未给出证明和应用。本节内容之前学生已经学习了解三角形，它是三角形面积公式的延续与拓展，又是后续研究三角形面积相关知识的基础。本节课的主要设置对象为数学学习程度较好的学生――在完成《高中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的同学，意在引领学生运用所学知识对海伦公式进行证明，并让同学们从中体会到数学之美。 【学情分析】 高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的余弦定理、三角形面积公式以及平方差公式和完全平方公式。 【教学目标】

1、知识与技能：（1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；（2）会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。

2、过程与方法：（1）经历证明秦九韶公式及海伦公式的全过程，培养学生严谨的数学逻辑思维；（2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。

3、情感态度价值观：（1）体会到数学的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】证明秦九韶海伦公式的过程。 【教学难点、关键】海伦公式的本质。 【教学方法】引导探究、实例运用。 【教学过程设计】

一、回顾旧知，引入课题

1、三角形面积公式。通过提问，让学生回答出已经学习过的公式，板书：已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式

S111absinCbcsinAcasinB 222

2、复习课本例题。复习已知三边的具体值求三角形面积的方法。

通过一个古代数学问题，提起学生学习兴趣，引入海伦公式。

二、已知三边a，b，c，求三角形面积

利用已知三边具体值求三角形面积的方法推导出已知三边a，b，c求三角形面积的公式

在黑板上演示推导的全过程，让学生清楚地看到新知识的形成过程。

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a2b2c2由余弦定理得：cosC→sin2c+cos2c=1→2ab111(a2b2c2)22SabsinCab1cosCab1

2224a2b2

122c2a2b2板书演示推导过程，得到秦九韶公式Sca422

也叫三斜求积公式，ppt展示并讲授秦九韶的著作《数书九章》以及他的伟大成就及相关数学史。 对三斜求积公式里面的边加以说明，定理:若三角形的三条边分别是:大斜、中斜、小斜，则三角形面积为：

老师擦掉公式，让学生试着默写出秦九韶公式，大部分学生无法完整默写。提出疑问：秦九韶公式不够简洁不方便记忆的弊端。学生和老师继续探索，简化秦九韶公式。板书演示海伦公式的推导过程，由此得到海伦公式：海伦（Heran）公式，

PPT演示：由余弦定理可得设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、a2b2c2B、C，则余弦定理为：cosC

2ab111(a2b2c2)22SabsinC① ab1cosC② ab1③222224ab114a2b2(a2b2c2)④ (2aba2b2c2)(2aba2b2c2)⑤

4411[(ab)2c2][c2(ab)2]⑥ (abc)(abc)(abc)(abb)44abbabcabcabc,pb,pc,

⑦ 设p 则pa2222(abc)(abc)(abc)(abc)上式p(pa)(pb)(pc)所以，

16S△ABCp(pa)(pb)(pc)

简化为：已知△ABC中，ABc,BCa,CAb,p(abc)，则三角形面积Sp(pa)(pb)(pc)；PPT展示海伦记载该公式历史

通过上述证明向学生们揭示秦九韶公式与海伦公式的本质是一样的。

设计意图：在推导过程中自然地解释海伦公式中为什么令p =(a+b+c)。体会海伦公式简洁的魅力，并了解一些数学家的故事。

课中探究

老师提供资料鼓励学有余力的同学继续探究用其他方式证明海伦公式

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1212

设计意图：1、使学生更好学会运用海伦公式解决边与面积问题；2、鼓励学有余力学生探究证明海伦公式的其他方法。 ①

已知三角形的底边长为a, 高为h，则三角形面积S= 底



高

2 ②

已知三角形的周长为l，内切圆半径为r，则三角形面积SArrBlr

2ah

2ArC BDC 三、海伦公式的本质

例题：已知三角形三边为分别为a，b，c其周长记为L，求该三角形面积。那么我们可以得L=a+b+c利用刚刚学习的海伦公式可求得S，同时让同学间相互出题，随意变换三角形的三边字母或者周长的字母解决问题。海伦公式的实质：

设计意图：通过简单例题引发同学们的思考，使同学掌握海伦公式的本质，体会公式的字母可变性与结构不变性，并感受到数学以不变应万变的魅力。

四、海伦公式的应用

海伦公式除了可以解决已知三角形三边长求面积的问题外，还有什么应用呢？

例题：三边长a，b，c的三角形，满足c>a>b.2a=b+c，且它的周长是12，面积是6，试判断这个三角形的形状.

先让学生们独立做题，最后由老师板书演示解得该三角形为直角三角形。

设计意图：1.让学生经历运用海伦公式解决数学问题的过程；2.培养学生利用海伦公式解决三角形三边与面积之间关系问题的意识。 例题讲解

例题1，我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为若

asinC4sinA

(ac)“三斜求

积”公式求得△ABC的面积为 _____. 例题2，在ABC中，AB3,BC13AC4,求ABC的面积

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122a2c2-b22[ac-()]422212b2

则用

（2）在△ABC中，b2,B6,C4,求ABC的面积.

设计意图：此处两个公式用于拓展学生的知识面c2sinAsinBb2sinAsinCa2sinBsinC（S已知三角形两角A、B及其中一边2sin(AB)2sin(AC)2sin(BC)a2sin(AB)sinB的对边a，则三角形面积公式为 S）

2sinA练习：中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长为

a,b,c 则三角形的面积S可由公式Sppapbpc求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足

a6,bc8

则此三角形面积的最大值为_____. 五、海伦公式的推广

由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=abcd,则

2S四边形=(pa)(pb)(pc)(pd)

证明过程ppt展示

海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。

例题3如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD =2.求证：四边形可能为等腰梯形。

33,AD = 1,AB = 1, CD = 4六、小结并归纳三角形面积公式

通过板书总结本堂课的内容（PPT投影） （1）SabsinCbcsinAcasinB

121212

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（2）已知三角形的周长为l，内切圆半径为r，则三角形面积Slr

2L

4R（3）知三角形的三边长的乘积为L，外接圆半径为R，则三角形面积Suurruuurr1r2r2rr2|a||b|(agb)

（4）已知三角形AOB中，向量OAa，OBb，则三角形面积S2122c2a2b2ca（5）三角形面积Sp(pa)(pb)(pc)

S422

（6）已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为

S111absinCbcsinAcasinB

222（8）已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为

c2sinAsinBb2sinAsinCa2sinBsinC

S2sin(AB)2sin(AC)2sin(BC)（9）已知三角形两角A、B及其中一边的对边a，则三角形面积公式为

a2sin(AB)sinB

S

2sinA七、【板书设计】（略）

【创新之处】

1、本节对于程度较好的学生，海伦公式及其应用在今后的学习中是十分重要，设计本节内容有利于学生日后的进步。

2、本节内容在众多教学设计中鲜有涉及，本文则详细介绍和证明海伦公式，严谨证明海伦公式作为授课思路。

3、本文学习后，本文着重带领学生理解公式的字母可变性和结构不变性，加深学生对海伦公式本质的理解，更是引领学生掌握海伦公式的本质，体会数学中以不变应万变的魅力。

4、海伦公式的应用方面，通过练习，让学生发现海伦公式更广阔的应用，既可以解决已知三角形三边长求面积，也可以解决涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。

5、课开始时的回顾旧知与结束时的总结，强化学生对三角形面积公式的知识构建，有利于学生理解掌握该类知识，也可以使学生自潜移默化之中培养对知识框架构建的意识。

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