3.2.2 复数代数形式的乘除运算设计意图

3.2.2复数代数形式的乘除运算

教学设计

一、教材地位与作用

从新课标高考命题的特点来看，复数是选修内容，通常考一个选择题，分值5分。考查重点有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数、复数的四则运算等。复数的乘除运算是在前面学习了复数的加减运算之后进一步的学习，通过复数的四则运算将复数转化为一般的代数形式，是解决复数有关问题的关键。

二、学情分析

学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算，而在学习了复数的加减法之后，学生将会想了解复数的乘除法及其与多项式运算的区别。

三、三维目标

1.知识与技能：

（1）掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解除法是乘法运算的逆运算；

（2）掌握复数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律；

（3）理解共轭复数的概念及其性质。

2.过程与方法：

通过引导启发式教学和学生小组合作学习，从多项式的运算出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过zz|z|2实现分母的

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实数化，培养学生转化思想，及探索问题、分析问题、解决问题的能力，激发学生对数学的学习兴趣。

3.情感态度与价值观：

培养学生观察能力，通过类比多项式的运算方法推导出复数的乘除运算公式，即在通过多项式的类比运算中，提高学生解决数学问题的转化能力，加深对数学的情感认识。

四、教学重点与难点

1.教学重点：复数代数形式的乘除运算。

2.教学难点：共轭复数的概念及复数除法中的分母“实数化”。

五、方法设计

引导启发式、讲练结合、小组合作学习。

六、教学过程设计

1.复习引入

（1）复习复数的加减法运算法则及加法满足交换律、结合律；

（2）检查学生《导学案》里的习题（通过实物投影仪展示学生的作答情况）：

①复习1：计算（1）(14i)+(72i)；

（2）(52i)+(14i)(23i) 2(ab) ；

②复习2：计算：

（1）（2）(3a2b)(3a2b) ；

（3）(3a2b)(a3b) . ③复习3：化简：31 . 设计意图：

1.通过复数的加减法运算，可以加强学生前节课学习的内容;

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2.通过对比多项式的运算启发学生推导复数的乘法运算法则; 3.通过根式除法的分母有理化为学习复数的除法运算作铺垫。

2.讲授新课

（1）复数的乘法运算法则

①复数的乘法法则如下：

设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，是任意两个复数，那么

(abi)(cdi)acbciadibdi2

=(acbd)(adbc)i

问题：1、两个复数相乘与两个多项式相乘的异同？

2、复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？

②新知：对于任意z1,z2,z3C，有

z1z2z2z1

(z1z2)z3z1(z2z3) z1(z2z3)z1z2z1z3)

反思：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算，但必须在所得的结果中把i换成-1,并且把实部、虚部分别合并，同时也满足其在实数集上的运算律。

例题讲解：

例1 计算：

（1）(12i)(34i)(2i)； （2）(1i)

（3）(34i)(34i)

（2）共轭复数

通过上题(34i)(34i)中的34i及34i，让学生观察它们的异同，引出共轭复数的概念，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，其中虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。即若zabi(a,bR),则za-bi

说出下列复数的共轭复数

z23i，z6i，z3 22思考：若z1,z2是共轭复数，那么

（1）在复平面内，它们所对应的点有怎么样的位置？

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（2）z1z2是一个怎样的数？

设计意图：

1.可以得出共轭复数的一些性质：

①在复平面内，它们所对应的点关于实轴对称；

22②zzab；

22③zzabz

222.通过zzabz启发学生对复数的除法运算分母“实数22化”的思想。

（3）复数的除法运算法则

类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，满足(cdi)(xyi)abi(cdi0)的复数xyi叫做复数abi除于复数cdi的商，记作xyiabi

cdi(cdi)(xyi)abi(cxdy)(dxcy)iabiacbdx2cxdyacd2dxcybybcad c2d2acbdbcadxyi22i22cdcdabi(abi)(cdi)acbdbcad22i得：22

cdi(cdi)(cdi)cdcd22让学生观察分母cd与复数zcdi有什么关系，并引导学22生总结出cd实质上就是zcdi与其共轭复数zcdi的乘积，类比根式除法的分母有理化，从而寻找出复数除法运算的方法，

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启发学生对复数的除法运算进行分母“实数化”。

设计意图：

1.通过乘法的推导让学生巩固刚学习过的复数乘法运算；

2.让学生深刻体会到复数的除法是乘法的逆运算；

3.巩固了前面学习过的两复数相等的充要条件及二元一次方程组的解法。

4.培养学生的观察能力、分析能力以及探索能力。

例题讲解：

例2计算：(12i)(34i)

加强练习：

12i1.（2013年全国文科高考题）1i2＝（ ）

A．1i B．1+i C．1+i D．1i

2.（2014年全国文科高考题）设zA. B. 121i，则z（ ）

1i1212121223 C. D. 2 223.（2015年全国文科高考题）已知复数z满足(z1)i1i，则z（ ）

A. 2i B.2i C.2i D.2i

设计意图：

1.通过全国卷的高考题，让学生熟悉高考、了解高考，增强信心；

2.通过2013年的全国卷高考题当分母为纯虚数时，怎么样让分母实数化，方法可以有多种，启发学生多种思维思考的能力。

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七、课堂小结

1.复数乘法的运算法则、运算规律; 2.共轭复数概念及性质; 3.复数除法运算法则. 八、布置作业

P61课习题3.2A组

第4题（3）、(4)及第5题（2）、九、板书设计

1.复数的乘法

(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i (a,b,c,dR)

2.共轭复数：zabi,za-bi (a,bR)

性质：（1）在复平面内，它们所对应的点关于实轴对称；（2）zza2b2；

（3）zza2b2z2

3.复数的除法

例题1：(12i)(34i)(2i)

例题2：(12i)(34i)

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