阅读与思考 错在哪儿优秀教学设计内容

简单的线性规划问题(1)--错在哪儿

浙江省玉环中学 李林静

一、教材分析

1.

地位和作用

线性规划是运筹学的一个重要分支，经常用来解决现实生产、生活中遇到的资源利用、人力调配、生产安排等多方面的实际问题，通过数学建模把这些实际应用问题转化为数学问题来求解，实现最优化的安排，它是沟通代数与几何的桥梁，集数与形于一身.

“简单的线性规划问题”是人教版《数学5》第三章教学内容的一部分，该课教学分3课时，本节课是第一课时内容，主要目的是让学生体会数学知识形成过程中所蕴涵的数学思想和方法，掌握处理代数问题的几何方法——图解法，体会不等式是解决实际问题的重要数学模型和有效工具，形成良好的思维方式，以及促使学生发现新旧知识间的联系，提升学生归纳总结、一题多解、多题归一的能力.

2.

学情分析

认知基础：学习本节课之前，学生已掌握不等式的代数解法、不等式的几何意义，还初步从实例中抽象出简单的二元线性规划的限制条件，并会画出其平面区域，理解了平面区域的意义，为本节课数学建模及图解法作好了铺垫.

能力基础：本节课教学对象是高一学生，当问题涉及多个变量及多个不等关系时，对数形结合思想的运用还需时日，为此在教学策略上借助课后阅读与思考为引例，采用问题导学，问题研讨，问题解决等方式实现知识的迁移拓展应用.

二、教学目标

1.

知识与技能

（1）了解线性规划的意义及约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念；

（2）能够正确运用图解法求解简单的二元线性规划问题. 2. 过程与方法

（1）在问题引入中，培养学生观察、联想、数据分析、质疑反思、探索错因的能力；

（2）在图解法解决问题过程中，培养学生观察能力、理解能力、问题一般化的能力；

（3）在对实际应用问题处理中，培养学生的数学建模能力，由对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识，并从中渗透数形结合、转化与化归、数学建模等数学思想.

3. 情感态度与价值观

通过本节课的学习，提高学生敢于发现问题、质疑反思、探索问题、归纳总结、构建同类知识学习的一般步骤、方法及策略的能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在统筹安排中的作用，学会用联系发展的眼光看问题，建构知识框架，建立新旧知识间的桥梁，勤思考，多反思，勇探索，学会老题新做、一题多解、多题归一，提升学生的数学建模、数据分析、数学运算等核心素养. 三、教学重难点

重点：错解中发现问题，从数形两方面进行分析；以及从实际问题中抽象出约束条件；用图解法求线性规划问题的最优解；

难点：从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，并能加以解决. 四、教学方法

通过引例、思考、探究、建模、模型一般化、实际应用问题、建构知识框架的教学程序，采用问题导学、学生思考、联想、学生汇报、验证猜想、适时评价、适时总结的教学方式，培养学生分析问题及解决问题的能力，借助多媒体、直尺等工具，提高课堂效率，营造积极向上的学习氛围，提升学生的核心素养. 五、教学过程

5.1 呈现背景，提出问题

例.已知实数x,y满足不等式组1xy3,则

1xy1,（1）实数x的取值范围是____；

（2）实数y的取值范围是____；

[学生1汇报]两个不等式相加除以2，得0x2；

第一个不等式加上第二个不等式乘以1，得0y2. [学生2汇报]通过画出不等式组所表示的平面区域（如图），得0x2，0y2. 设计意图：通过让学生求解x,y的取值范围，巩固本章第一节不等式的相关性质，以及第二节二元一次不等式（组）与平面区域，分别从代数与几何角度（图解法）进行求解，建构起知识间联系的桥梁，体会重要的数学思想. [提出问题]（3）4x2y的取值范围是____. [学生3汇报]不等式组中的第一个不等式乘以3加上第二个不等式，

得出24x2y10. yx02y4，两不等式相

[学生4汇报]直接在（1）、（2）的基础上得出04x8，加即可,从而04x2y12

[提出问题]为什么两位同学通过不同的方法解出的答案不一样，原因是什么？

设计意图：通过问题引导，激发学生去寻找原因，引出第二部分内容：联想激活，寻求方法.一联想前面学过的知识，从代数角度找原因；二引导学生从几何角度寻求方法，引出本节课课题：二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题（1）——错在哪儿.

5.2 联想激活，寻求方法

[学生思考，总结汇报]学生4的方法最值取不到，如当最大值为12时，x2,y2，这与

已知不等式组中x,y不能同时取到2矛盾，x,y是相互约束的.(巩固取最值时要验证等号是否成立，以及为下面引出线性规划相关概念作铺垫.) [提出问题]刚才同学们从代数角度进行了分析，能否从几何角度再来分析下原因呢？

[教师提示]刚才同学3是直接在已知不等式组表示的平面区域内进行求解的，同学4是在哪个不等式组表示的平面区域内求解的？请画出该平面区域，并比较两个平面区域来进行错因分析. 0x2，[学生画图汇报]同学4是在求解出的不等式组的条件

0y2，下求解的，所表示的平面区域如右图所示，比已知不等

式组表示的平面区域范围要大. yx设计意图：通过问题导向驱动学生既要会从数的角度分析错因，也要学会从形的角度进行更直观的分析，充分体会数形结合思想在高中数学中的的重要性.

[提出问题]如何从几何角度（图解法）求解4x2y的取值范围？

在几何法求解取值范围之前，我们先补充线性规划的相关概念：

1.

由x,y的不等式（或方程）组成的不等式组称为x,y的约束条件；

2.

关于x,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组称为x,y的线性约束条件；

3.

满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解；

4.

所有可行解组成的集合称为可行域；

5.

关于x,y的一次目标函数称为线性目标函数；

6.

使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解；

7.

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题. 再次回到刚才的问题：如何用图解法求目标函数4x2y的取值范围？

[问题细化]目标函数4x2y的几何意义是什么？

设计意图：鼓励学生展开联想，与直线联系起来，引出第三部分：提出猜想，验证猜想. 5.3 提出猜想，验证猜想

[学生抢答]直线；

[及时追问]直线是方程式，而目标函数4x2y是什么？

[学生抢答]代数式；

[继续追问]那怎样把目标函数写成方程式？

[学生思考并汇报]可以令z4x2y，这样就变成了方程式，从而几何意义就是直线. [提出问题]直线z4x2y中z的几何意义是什么？

zz，表示该直线的纵截距. 22z[适时总结]求线性目标函数z4x2y的取值范围问题转化为求纵截距的取值范围. 2[提出问题]取不同的z得到不同的直线z4x2y，这些直线之间有什么关系？

[学生思考并汇报]把直线z4x2y化成斜截式y2x[学生抢答]所有这些直线都平行. yz的取值范围，即求其最值，其最值分别是多少？

2（1,2）[学生5汇报]显然在最高点处取到最大值，在最低点(1,0)

[及时追问]求

处取到最小值. [问题引导]不妨动手多画几条直线z4x2y，观察一下，数学

是严谨的，要讲证据推理. [动手绘图，学生6汇报]把这些平行线进行平移，发现在左顶点点(0,1)处纵截距有最小值1，即z

的最小值为2；在右顶点(2,1)处纵截距有最大值5，即z的最大值为10. [提出问题]在画直线z4x2y时，需要画很多条吗？能否简洁一些？

[学生总结]在画平行线时，只需先画z0时的直线，然后经过平移求出其最优解，代入

即可得出其最值. [提出问题]是否一定是在最高点处有最值？为什么？

[学生汇报]不一定，发现与直线的斜率有关系. x

[继续提问]是否存在x,y，使得z4x2y12？

[学生汇报]不存在，因为取定的z必须满足直线z=4x+2y与可行域有公共点. [师生共同总结]图解法解线性规划问题的一般步骤：

1.

画：画出可行域；

2.

移：先画目标函数z=Ax+By=0时的直线，利用平移的方法找出与可行域有公

共点且纵截距最大、最小的直线；

3.

求：根据平移结果，先求区域内特殊点的坐标，再求最优解，最后代入目标

函数求出最值. [教师点评]在课前引入时我们从数的角度求出了目标函数4x+2y的取值范围，刚刚我们又从形的角度进行了求解，并总结出了图解法求解线性规划问题的一般步骤；但这里我们要关注目标函数中z的几何意义(z与纵截距的相关性：如例题中z与纵截距z成正相关关系)，以及最优解不一定在可行域的上下两顶点取到. 2[提出问题]刚才有同学提出在最高点处取到最值，那请同学们自己设计一个目标函数，使得该目标函数在上顶点(1,2)处取到最大值. [学生7汇报]目标函数zx3y在点(1,2)处取到最大值. [提出问题]还有其他不一样的目标函数吗？

[学生8汇报]其实这样的目标函数有很多，只要让斜率k满足k1，即1k1这个范围内的所有目标函数zkxy都可以. [问题追问]能分析下原因吗？

[学生8汇报]可以设目标函数zkxy经过变形，得ykxz，先画ykx，经平移及旋转发现，当k1时，在点(0,1)处取到最大值；当k1时，在点(2,1)处取到最大值，所以1k1，即1k1. [及时追问]答案完整吗？等号是否取到？

[学生汇报]当k1时，在边AD上均取到最大值；

当k1时，在边CD上均取到最大值；

所以等号成立，所以满足1k1的所有k均可以. [适时追问]从研究等号是否成立这个问题中，同学们还发现了什么结论及注意事项？

[学生汇报]1. 当k1时目标函数的最优解不唯一；2. 斜率对最优解的影响. [学生提问]同学7提出的目标函数zx3y中y的系数为3，而同学8提出的目标函数中y

的系数为1，这不具有一般性，能否推广到一般性？

[教生同解惑]推广到一般的目标函数zaxby，对b进行讨论：

①若b0，此时在点A,C处有最值，不成立，舍去；

②若b0，此时目标函数两边同除以b，归结为同学8的类型；

③若b0，此时目标函数两边同除以b，目标函数变形，得yyDABCxazx，注意此时z与bbzz成负相关关系：纵截距越小，z越大. 所以应该向下平移才成立，与已知矛盾，舍去. bb[及时提问]在推广到一般性时，我们又发现了什么需要注意的地方？

[学生总结]图解法求目标函数最值要关注z的几何意义(z与纵截距的相关性): 若z随截距的增加而增加，称z与截距成正相关；

若z随截距的增加而减小，称z与截距成负相关. 设计意图：通过让学生自编目标函数，激发学生学习兴趣，提高学生主动探索的能力，并引导学生主动探究出以下几点结论：

1.

在哪里取到最优解有两种思路：一方面可以经过平移得出，另一方面通过比较斜率大小

得出；

2.

在可行域的上下顶点能否取到最值与目标函数的斜率有关系；

3.

最优解不一定唯一；

4.

图解法求目标函数最值要关注z的几何意义(z与纵截距的相关性). 5.4 运用巩固，内化迁移

[教师解说]大家看到这些阀门图片应该都不陌生，因为玉环是有名的阀门之都，每个工厂经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题，这就用到运筹学，而本节线性规划正是运筹学最主要的一部分，通过数学建模把实际问题转化为数学问题来求解，所以线性规划是沟通代数与几何的桥梁，集数与形于一身，下面我们来看具体实例：

例1.某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多从配件厂获得16个A配件和12个B配件，生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，按每天工作8h计算，采用哪种日生产安排利润最大？

[提出问题]面对繁杂冗长的应用题，该如何处理相关信息？

[学生思考并汇报]1. 列表：

所需材料

产品

类型

甲

乙

4 0 0 4 1 2

A配件（≤16）

B配件（≤12）

耗时t（≤8）

2.解：设甲、乙两种产品分别日生产x,y件，利润为z，则z=2x+3y，且约束条件为：

x2y8,4x16,

4y12,x0,xN,y0,yN.y(0,3)(2,3)(4,2)x2z2x，先画yx，经过平移333画出可行域（由整点组成），及目标函数变形得y2)处取到最大值z14. 得出，在点B(4，答：甲、乙两种产品分别日生产安排为4件、2件时，所获利润最大为14. [适时点评]这里要注意可行域是由整点组成的一个区域，可行域内的所有整点即为所有可行的日生产安排. 在可行解为整点且个数比较少时求最值及最优解有无更简洁的方法？

[学生抢答]可以直接选择相对较大的(x,y)代入尝试即可得出最值及最优解. [提出问题]请归纳一下求解线性规划实际应用问题的一般步骤.

[学生归纳总结]1.根据已知条件写出线性约束条件及目标函数；

1.

画出线性约束条件所表示的可行域；

2.

在目标函数所表示的一族平行线(与目标函数z=0平行)中,利用平移的方法找出与可行域

有公共点且纵截距最大、最小的直线；

3.

根据平移的结论，先求可行域内特殊点的坐标，再求最优解；

4.

作出答案（还原成实际问题）. 简化为：写、画、移、求、答. 设计意图：对如何求解线性规划问题本节课从一道学生易出错的题目出发进行了研讨，已成功突破一个重难点，而从实际应用问题中抽象出二元一次不等式（组）表示的平面区域也是本节的一个重点及难点，这就需要建立数学模型将复杂的实际问题转化为易于理解和操作的数学问题，再利用线性规划求解，使学生在具体情境中感受并由此产生用数学知识解决实际生活中问题的愿望，体会不等式是解决实际问题的重要数学模型和有效工具，形成良好的思维方式，进一步明确数学问题源于生活并可用于生活，学好数学的目的在于应用. 5.5 回顾反思，拓展问题

[提出问题]请同学们总结一下我们这节课学到了哪些知识（构建知识框架）？

数的角度求解及错因分析

实例

形的角度分析错因并求解

数学思想：

数形结合、

算法思想、

转化与化归、

数学建模等

[课后作业] 教材P91：练习1，2 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题

目标函数

斜截式

约束条件

平面区域

x,y相互制约

最优解

求解步骤

（写）、画、移、求、（答）

不一定唯一

2练习3.已知函数f(x)axc，且4f(1)1,1f(2)5，求f(3)的取值范围；

练习4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S410，S515，求a4的最大值. 设计意图：通过课堂小结，引导学生建构起本节课的知识框架，回顾课堂学习内容，形成良好的学习习惯. 借助课后作业练习1巩固图解法求解线性规划的一般步骤，并再次理解最优解不一定在上下顶点取到（与目标函数斜率有关），以及目标函数z的几何意义；借助课本练习2促使学生面对实际应用问题会建立相应的数学模型并求解，明白数学源于生活，也应用于生活；另外补充了两道练习，学生猛一看是前面知识内容，自然而然会用前面知识求解，这两道练习放在这里的目的是激发学生创设观察、比较、归纳、探究老题新做，促使学生用线性规划去求解，发现一题多解，多题归一；另一方面提示学生在学习中要学会新旧知识之间的融汇贯通，及时去归纳总结，反思提升，建立起新旧知识间的桥梁.

六、教后反思

“数据分析、数学运算、数学建模”是高中数学六大核心素养的一部分. 如何使该核心素养落实到教学实处？本课本着以发展学生数学核心素养为目标，通过课堂这个主阵地，以教学内容为载体，采用问题导学的方式，激发学生的认知结构，建立新旧知识间的联系，促使学生从数、形两方面学会数据分析，推理错误原因，利用问题串来调控教学，鼓励学生质疑反思，发现问题，提出问题，培养学生的问题意识、反思意识. 通过解决问题、自编题目、归纳总结等灵活的教学手段，发展学生认识数学知识背后的一些共性结论，提高学生的逻辑思维能力及问题推广到一般化的能力；并引导学生面对繁杂冗长的实际应用问题，能够建立相应的数学模型进行求解；通过课堂小结驱动学生建构起本节内容的知识框架；以及通过课下作业促使学生发现新旧知识间的联系，提升学生归纳总结、一题多解、多题归一的能力. 因此有效设计课堂教学内容，充分挖掘数学知识间的学科基本观念和数学思想，挖掘数学学习的基本方法和步骤，形成对数学知识和概念的基本理解，是数学课堂教学达成核心素养目标的基本途径，也是核心素养下数学课堂教学追求的高度.