小结优秀教案板书设计

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知识点&典型题

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编号013 §3.4基本不等式

【学习目标】1.理解基本不等式的内容及证明.2.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．

3.熟练掌握基本不等式及变形的应用.4.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【学习过程】

知识点一

基本不等式及其推导

基本不等式是：

(1)________________________________

(2)________________________________

知识点二

基本不等式常见推论

ba(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．

证明：

aba2＋b2a＋b2(3) ≥22 (a，b∈R)．(4) ____________________________ 以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

知识点三

基本不等式的使用条件

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

知识点四

利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定求和) p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定求积) 4知识点五

基本不等式与双勾函数的关系

m对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．

x

【典型题】

类型一

用基本不等式证明不等式

例1

求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.

1 变式

已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

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编号013 类型二

用基本不等式比大小

例2

设a＞b＞1，P＝lg a·lg b，Q＝lg a＋lg b2，

R＝lg a＋b2，则P，Q，R的大小关系是(

) A．R＜P＜Q

B．P＜Q＜R

C．Q＜P＜R

D．P＜R＜Q

变式2

设a>0，b>0，给出下列不等式：

①a2＋1>a；②a＋1ab＋1b≥4；

③(a＋b)1a＋1b≥4；④a2＋9>6a. 其中恒成立的是________．(填序号)

类型三

基本不等式与最值

例3

(1) 设0

变式1

若0

) A．a>a＋b2>ab>b

B．b>ab>a＋b2>a

C．b>a＋b2>ab>a

D．b>a>a＋b2>ab

变式3

若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(

) A.11ab≤4

B.11a＋b≤1 C.ab≥2

D．a2＋b2≥8

(2) 已知x<2，求x＋4x－2的最小值；

2

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编号013 (3) 已知x>0，y>0，且

1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．

(5)函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值为________．

(7)若正数a，b满足1119a＋b＝1，求a－1＋b－1的最小值

(9)已知x为正实数且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值；

(4) 设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

(6)函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值为________．

(8)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，求x＋3y的最小值

（10）已知0

2x

3

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编号013 类型四

基本不等式在实际问题中的应用

例4

(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

例5

某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费

变式

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？

变式

若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？

900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天

所支付的总费用最少？

【基本功强化训练】构造新数列

已知数列{an}，满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2，求an.

n

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