3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计与反思

3.2.2复数乘除运算

【学习目标】1.掌握复数代数形式的乘、除运算．

2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

3．理解共轭复数的概念．

【知识梳理】1．如何规定两个复数相乘？

2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？

(2)对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

z1·z2＝z2·z1

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律

【问题导思】

如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？

(2)共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 【典型例题】

例1. (1)(2013·课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)·z＝2i，则z＝(

) A．－1＋i

B．－1－i

C．1＋i

D．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)＝(

) A．－8 B．8 C．－8i D．8i 1＋i62＋3i(3)计算()＋＝________. 1－i3－2i【思路探究】

(1)先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值．

(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．

3z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

1＋i2＋3i(3)先计算再乘方，且将的分母实数化后再合并．

1－i3－2i规律方法：1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a＋bi(a，b∈R)的形式．

2．记住以下结论可以提高运算速度

(1)(1＋i)＝2i，(1－i)＝－2i；

1－i1＋i(2)＝－i，＝i；

1＋i1－i1(3)＝－i. i变式训练：计算：

(1)(1－i)；

1331(2)(－＋i)( ＋i)(1＋i)；

22222i(3). 2＋i－23＋i22 013虚数单位i的幂的周期性及其应用：例2. (1)计算：＋()；

1－i1＋23i1＋i22 013(2)若复数z＝，求1＋z＋z＋…＋z的值．

1－i【思路探究】

将式子进行适当的化简、变形，使之出现i的形式，然后再根据i的值的特点计算求解．

规律方法：1．要熟记i的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i联系起来以便计算求值．

2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．

互动探究：在本例(2)中若z＝i，求1＋z＋z＋…＋z22 013222nnnn的值．

共轭复数的应用：

设z1，z2∈C，A＝z1·z2＋z2·z1，B＝z1·z1＋z2·z2，问A与B是否可以比较大小？为什么？

【思路探究】

设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论

规律方法：1．z·z＝|z|＝|z|是共轭复数的常用性质．

2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．

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3．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．

变式训练：已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z. 1＋2i

设复数z满足＝i，则z＝(

) zA．－2＋i

B．－2－i C．2－i D．2＋i 【防范措施】

在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a， b∈R)，利用复数相等的充要条件转化. 【当堂检测】

10i1．(2012·北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为(

) 3＋iA．(1,3)

B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1) 2．(2013·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－A．－3 B．－1 C．1 D．3 3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________. 4．计算：

13(1)(1－i)(－2＋2i)(1＋i)；

10(a∈R)是纯虚数，则a的值为(

) 3－i