3.2.2 复数代数形式的乘除运算优质教案设计

§3.2.2 复数的乘法和除法

【学情分析】

学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算时,应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的. 在学习了复数的加减法之后，学生对复数的乘除法以及其与实数乘除法的区别的好奇心自然也呼之欲出。.

【教学目标】

（1）知识目标：

掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，.理解共轭复数的概念．

（2）过程与方法目标：

从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的乘除法定义及其运算律，通过zz|z|2实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。

（3）情感与能力目标：

通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。

【教学重点】

复数的乘除法运算及共轭复数的概念

【教学难点】

复数的除法运算及除法中的分母实数化。

【课前准备】

powerpoint课件

【教学过程设计】

教学环节

教学活动

设计意图

通过对导学案的复习提问，可以了解学生在哪个知识点还掌握的不是很扎实，上课着重点下手。

一、导学案引入

1．检验自主预习学案，对复数代数形式的乘法、乘方及运算律，i的n次方的周期性规律，共轭复数及复数的除法这些概念的检查复习，有学生作答，并通过相应的小题检查复习效果

2．实数与实数相乘除得到的仍是实数，实数的乘除满足交换律、结合律，乘法对加法的分配律，复数的乘除还满足这些运算律吗？两个虚数相乘能得到实数吗？

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1．复数的乘法：

①设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，规定

z1z2(abi)(cdi)acadibcibdi2(acbd)(adbc)i。

②复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对任意复数z1,z2,z3有

二、讲授新课

（１）复数的乘法运算

z1z2z2z1(z1z2)z3z1(z2z3)z1(z2z3)z1z2z1z3③实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数z,z1,z2和自然数n,m有：

类比实数与实数的乘法运算

zmznzmn(zm)nzmn(z1z2)nz1nz2n④i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1(nZ)

（2）共轭复数

1.共轭复数的概念。一般的当两个复数的实部相同，虚部相反是，这两个复数叫做互为共轭复数，通常记复数z的共轭复数为z。2.由复数的模及共轭复数的定义知，z与z的zz是__—

，。对称。，zz是纯虚数的充要条件是z为_3.在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点关于

（3）复数的除法运算

设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，规定

z1abi1cdi(abi)()(abi)(2)=2z2cdicdicd(acbd)(bcad)iacbdbcad2i

c2d2cd2c2d2

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三、运用新知

，

体验成功

牛刀小试

1．(1－i)2·i＝(

) A．2－2i

B．2＋2i C．2

D．－2 2．已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝(

) A．5－5i

B．7－5i C．5＋5i

D．7＋5i 牛刀小试

z3．(2015·山东理)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，1－i则z＝(

) A．1－i

C．－1－i

B．1＋i D．－1＋i

4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，实数y＝________. 运用导学案，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化，使知识教育与能力培养结合起来，设计分层练习

牛刀小试

2i35．i是虚数单位，等于(

) 1－iA．1＋i

C．1－i

B．－1＋i D．－1－i

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四、师生互动，继续探究

1.复数的乘法与乘方

让学生进行复数乘除法运算，并得到一些复数运算结论。

计算：（1）（1-2i）(34i)(2i).（2）（-8-7i）(3i)[分析]　应用复数的乘法法则及运算律求解

解：（1）（1-2i）(34i)(2i).（11-2i）(2i)2015i（2）（-8-7i）(3i)24i21i22124i

[方法规律总结]

1.复数的乘法运算可将i看作字母按多项式乘法的运算法则进行，最后将i2＝－1代入合并“同类项”即可．

2．复数的乘法运算可以推广，因此，复数可进行乘方运算，常见的有：(a±bi)2＝(a2－b2)±2abi(a，b∈R)，(1±i)2＝±2i等，即实数的乘方公式对复数也成立．

3．跟踪训练

由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法313(1)复数z＝2－ai，a∈R，且z2＝2－2i，则a的值为(

) A．1

1C．2

B．2 1D．4

(2)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________. 2.

复数除法

计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；

则进行运算，将复数写成代数

[分析]

(1)先写成分式的形式，再分母实数化．

(2)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简，或分解因式，再做除法．

(3)先展开，后化简．

跟踪训练

形式，再写出其共轭复数．

通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫

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(1)(2015·全国Ⅰ，文)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(

) A．－2－i

C．2－i B．－2＋i D．2＋i 正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。

1(2)设z＝＋i，则|z|＝(

) 1＋i12A．2

B．2

3C．2

D．2

3.共轭复数

2＋i

复数的共轭复数是(

) 1－2i3B．5i D．i

3A．－5i

C．－i

[分析]通过运算把复数写成a＋bi(a、b∈R的形式)，则其共轭复数为a－bi. 跟踪训练

－(2015·广东理)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝(

) A．2－3i

C．3＋2i

B．2＋3i D．3－2i

五、概括梳理，形成系统

（小结）

六、布置作业

采取师生互动的形式完成。

即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。

1、

课后作业。

2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。

采取师生互动的形式完成。

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