阅读与思考 海伦和秦九韶第二课时 公开课

人教版必修五《1.2应用举例》教案

一、学科素养

1、熟记正、余弦定理变式；灵活应用变式进行边与角的互化；

2、能根据边角关系等式判定三角形形状

；

3、在三角形中会证明一些三角形有关的等式。

二、教学重难点

重点：应用正、余弦定理变式证明三角形有关的等式和判断三角形形状。

难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化。

三、学法指导

掌握正、余弦定理及其变式的应用，能根据边角关系等式判定三角形形状 在三角形中会证明一些三角形有关的等式。

四、学习流程

1、创设情境，明确目标

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

【学生活动】感受生活中的数学，体会了生活中测量距离的现实需要．

【教师活动】通过实例，引导学生体会生活中的数学无处不在，数学对生活的影响无处不在．数学方法是解决实际问题的一大途径。实际问题推动数学发展，数学发展推动科学技术发展。

【设计意图】通过引言，让学生体会解三角形在生活中的广泛应用，激发学生对于本堂课内容的浓厚兴趣．

2、实际问题，建立数学模型

（1）测量距离

例1、如图所示，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B

两点的距离(精确到0.1m) 启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得

AB=AC

sinACBsinABCAB=ACsinACB=55sinACB=sinABCsinABC55sin75

sin(1805175)=55sin75≈ 65.7(m) sin54答:A、B两点间的距离为65.7米

【学生活动】：思考并提出解决这个实际问题的方法。

【教师活动】：在和学生讨论建立数学模型的方法上着重强调可行性。让学生充分展示自己的见解，营造一个探讨和辩论的氛围，激发学生的创造力。

【设计意图】：“数学源于生活，生活依靠数学，而数学建模问题贴近生活，充满趣味性；使学生更深切地感受到数学与实际的联系，感受到数学问题的广泛，使学生对于学习数学的重要性理解得更为深刻”。并从中体会数学建模的思想。

（C）练习1、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，

 ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得

AC =

BC =

asin() = asin()

sin[180()]sin()asinasin =

sin[180()]sin()计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB = AC2BC22ACBCcos

【学生活动】：小组讨论并提出解决这个实际问题的方法。

【教师活动】：让学生充分展示自己的见解，并归纳总结学生的解题方法。

【设计意图】：引导学生寻求在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。并强化学生的数学建模意识。

1、解决应用题的思想方法是什么？

把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。

2、解决应用题的步骤是什么？

（2）测量高度

例1：测山上石油钻井的井架BC的高，从山脚

A测得AC=60m，塔顶B的的仰角

α是450。已知

山坡的倾斜角

β是300，求井架的高BC。

解：在△ABC中，AC=60m，

BCDBAC450300150

ABC900900450450

根据正弦定理，BCAC,sinBACsinABCBCACsinBAC60sin15sinABCsin4500

A

60(62)430(31)22

答：井架的高为30(31) 。

(A、C)练习1：勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察

山顶的仰角分别是300和450，两个观察点之间的距

离是250m，求此山的高度。

C

h

D

30

45A

250

B

00

解：由已知条件知：

ACB150ABC1350

ACAB根据正弦定理得：sinABCsinACB

ACABsinABC250sin135sinACBsin1500250CDACsin300300(31)1150（31）m2

22300(31)624

答：此山的高度为：150(31)m

（3）测量角度

例1：

一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile）?

解：在⊿ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，

ACAB2BC22ABBCcosABC67.5254.02267.554.0cos137113.15

BCAC根据正弦定理，sinCABsinABCBCsinABC54.0sin137sinCAB0.3255,AC113.15

所以，∠CAB=19.0°, 75°－∠CAB=56.0°. 答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15n mile.

互动探究学习活动：

探究载客游轮能否触礁（对于文科A层带着大家一起研究，理科C层小组研究）

播放意大利豪华游轮触礁新闻创设一个实际问题的情景。

一轮船在海上由西向东航行，测得某岛M在A处的北偏东角，前进4km后，测得该岛在角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行。

（1）

若2600，问该船有无触礁危险？如果没有请说明理由；

（2）

如果有，那么该船自B处向东航行多远会有触角危险

(1)如下图，作MC⊥AB，垂足为C，

由已知α＝60°，β＝30°，∴∠ABM＝120°，∠AMB＝30°，

∴BM＝AB＝4，∠MBC＝60°，

∴MC＝BM·sin 60°＝2∴该船有触礁的危险．

（2）设该船自B向东航行至点D有触礁危险，连接MD，

则MD＝3.5，BM＝4，BC＝2，MC＝2在△MDC中，CD＝∴BD＝1.5 (km)．

∴该船自B向东航行1.5 km会有触礁危险．

，

<3.5，

＝0.5，

【学生活动】：小组讨论我们如何考虑是否会触礁？如何建立数学模型解释这个问题。让学生建模求解并鼓励用不同方法去求解这个问题。

【教师活动】：让学生充分展示自己的见解。鼓励学生用不同方法去求解。

【设计意图】：重在学生培养“翻译”能力学会分析关系、领悟实质。弄清问题所述的事件和研究对象；抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；抓住问题中的主要问题，正确识别其类型。培养学生将实际问题抽象为数学问题，

从实际问题关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，体会建模的过程。

预留课后思考题（针对理科C的同学提问）

（3）当与满足什么条件时，该船没有触角危险

设CM＝x，在△MAB中，即＝，BM＝＝，

，

而x＝BM·sin∠MBC＝BM·cos β＝，

∴当x>3.5，>，即>时，该船没有触礁危险．

设计意图：该问题有一定难度留为课下自主合作探究讨论的问题，让课上到课下得到延伸。同事培养学生自主学习合作交流的能力

课堂小节：（采用提问形式，学生阐述，老师适当补充）

1、解斜三角形应用题的一般步骤：

2、利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

3、解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：

①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；

②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

作业：课后小题123，以及合作探究第三问