小结教学实录及点评

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成都市实验外国语学校五龙山校区

数学学科教学设计

装课 题

3.4基本不等式：abab

2知识与技能：

课 型

新授课

课

时

1

1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.

过程与方法：

1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

教学目标

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.

情感、态度与价值观：

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量. 1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

重、难点

2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.

教 法

学 法

问题引导，主动探究，启发式教学

自主探究，合作探究，独立思考

订

线1最接近“菲尔兹奖”的中国人---田刚。在国际数学家大会上，田刚成为中国内地第一个进行一个小时大会报告的学者。这不是他第一次在国际数学家大会上作报告。12年前，32岁时他就出现在京都国际数学家大会上。那次大会给他的报告时间是45知识链接

分钟。在上一届菲尔兹奖评选中，田刚进入了最后一轮的角逐。虽然没能获奖，但他是所有中国数学家中曾经最接近这一号称“数学诺贝尔奖”桂冠的人。在许多人看来，他是天才。可这位天才却说：“我的独特之处在于我不是天才。”他补充说，数学家

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不需要天才，关键在于努力，在于有兴趣。

2 函数yx教学流程

导

学

展，评

1（对勾函数）的图象和性质

x学生活动

了解国际数学家大会，了解赵爽和他的弦图设计

学生思考，从弦图中抽象出不等式，学生口述推导过程

学生说明：当ab时, 教师活动

介绍国际数学家大会和赵爽的弦图

教师提问引导学生探究弦图中的不等关系，教师用PPT展示

设计意图

采用情景导入，提升学生学习数学的兴趣，让学生了解数学的有关成就。了解中国古代人民的智慧，提升民族自豪感。渗透爱国主义教育。

体会赵爽的弦图是.课前完成利用弦图证明勾股定理的过程，一方面展现了赵教 学 内 容

如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

将图中的“风车”抽象成如图，

在正方形ABCD 中有4 个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为____________.这样，4 个直角三角形的面积的和是_________，正方形的面积为_________.由教师用几何画板帮助学生理解什么22ab2ab时候去等号的问题，教ab；当，师归纳:当且仅当22ab2ab

于

4个直角三角形的面积______正方形的

面积，我们就得到了一个不等式：

22ab2ab.当直角三角形变为等腰直

角三角形，即ab

时，正方形EFGH 缩

为一个点，这时有_______________ 请学生自主探究完成证【结论】：一般的，如果

a,bR

，我明

22们有ab2ab当且仅当

ab时，等号成立.你能给

来源学#科#网Z#Xab时，等爽证明的构号成立.

教师利用投影仪展示学生的完整证明过程.强调ab和图巧妙、精致，是数与形的完美统一，让学生对弦图的认识清晰、完ab两种整；另一方情况，说明面为提出弦“当且仅当”的含义

图中面积间

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学

请学生自主【合作探究1】：基本不等式

探究完成，如下图，在正方形对角线上选择一点，并说明：

过这一点向四个边做垂线，得到连个正方

形和两个矩形.

请学思考1：若两个正方形的边长分别为生说明：若a,b(如图)，则两个正方形的面积和与两个两正方形的矩形的面积和有没有大小关系呢？简单说面积分别为明.

a、b，则

其边长分别

出它的证明吗？

的不等关系做铺垫，体会相对关系与不等关系的辩证统一.同时，通过运动变化将直观的面积关系转化为用问题的形式引导学生隐含的数值对重要不等关系. 式的认识

探究1给学

生提供思维

发展的空

间，让学生

从对知识的

直观感知上

升到理性证

明，既体现

了数学知识

发生发展的

过程及其严

谨性，又巩

固了证明不a、b

为，等式的基本

得：应到学生认方法，为后续证明基本识到重要不ab2aba0,b0不等式做铺等式与基本垫

不等式的内

自然地由不在统一

当且仅当

等式a=b时，等

号成立

通常我们把上式写作a2b22ab过渡到ab2aba0,babab(a0,b0)，为基本不2

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展评

学

思考2：若两个正方形的面积分别为a,b(如图)，依据上面的结果，又能得到什么不等式呢？

思考3：在上述不等式中a,b需要满足什么条件呢？你能否用代数方法证明该不等式呢？

【合作探究2】不等式

abab2的几何解释. 如图，取线段AB=a+b,其中AC=a,BC=b,以AB为直径做圆O，过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. （1）图中你能用a和b来表示线段OD和CD吗？

（2）移动点C在线段AB上的位置，

你有什么结论呢？

学生思考完成.并给出展示，请学生展示不同的证明方法

请学生合作探究完成，并展示说明

，称为基本不等式，本节课我们就来研究基本不等式.

引导学生纠错，进而加入关键词“要证…,只要证…”即可,对分析法不做过多说明.

引导学生多角度认识基本不等式的几何解释.

等式的产生构造几何背景，并在图形中揭示不等式a2b22ab与不等式ab2aba0,b的内在联系.

此处的证明由学生独立完成，相互交流，并展示不同的证明方法，这样既能使不同认知基本的学生暴露出不同的问题，并加以解决，又能教会学生欣赏同伴身上的闪光点，发扬合作精神.

我们通常把不等式写作：

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测

ab

ab

这个不等式称为基本不等

2

式 其中，______叫做正数a,b的几何平均

数， ______叫做正数a,b的算术平

均数.

基本不等式中a,b均为___数. 代数意义：

___________________________________.

几何意义：

___________________________________.

【合作探究3】：基本不等式的应用

（1）用篱笆围成一个面积为

100m

的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多

少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？

（2）段长为

36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

2

总结：

完成当堂测评题目

合作探究，完成习题

学生和教师一起总结

学生完成当堂测评

教师组织学生的结果展示和对过程结果的评价

引导学生对探究的结果下结论，强调能取得最小值的原因及等号成立的条件

本题是基本不等式在实际问题中的简单应用，一方面，让学生知道可以利用基本不等式求解最大（小）值的问题；另一方面，强化学生对基本不等式的理解

检验教学目

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板书计划：

3.4基本不等式

重要不等式

教师关注学生的解题，对本节课内容做思维导图的引导，激励学生继续探寻生活中的数学问题

标的达成

重要不等式成立的条件和文字叙述

例题的解决过程

数形结合的思想

基本不等式

基本不等式的条件

代数意义

几何意义

基本不等式求最值的模型

教学反思：

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