小结教学设计实例

必修五第三章不等式小结教学设计

三河市第二中学

沈静

一、内容与内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中的小结

，主要内容是对本章知识进行复习，本节课主要针对线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法进行复习。

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用. 本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想. 二、目标和目标解析

（一）教学目标

1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.

2. 会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.

3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.

4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.

（二）教学目标解析

1. 了解线性规划模型的特征：一组决策变量表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．

2.使学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一组平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为画、移、求、答.

三、重点难点

教学重点：本节教学重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解. 教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答． 四、本节内容在教材中有着重要的地位与作用．

线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益．它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力．

把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是本节的重点也是难点．对许多学生来说，解数学应用题的最常见的困难是不会将实际问题转化成数学问题，即不会建模，所以把实际

问题转化为线性规划问题作为本节的难点．对学生而言，解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情境，不能多方面联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本节设计为计算机辅助教学，充分利用现代化教学工具，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解．

授课环节：

（一）复习线性规划与实际相结合的应用问题，以及整点问题。

例1、

要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板，其中第一张钢板分别截A,B,C规格的块数分别为2,1,1，其中第,二张钢板分别截A,B,C规格的块数分别为1,2，3，今需要A ,B,C三种规格的成品分别15,18,27块，

(1)试用数学关系和图形表示上述要求。

(2)各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则

2xy15,x2y18,



x3y27,

x0,

y0.

2.某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每吨甲种产品的利润是600元，每吨乙种产品的利润是1 000元. 工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过363 t.甲、乙两种产品应各生产多少吨，能使利润总额达到最大? 解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，则

10x4y300,

5x4y200,



4x9y363,

x0,

y0;

z600x1 000y.

（二）利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式.

xy0设变量x,y满足约束条件xy0，

（由学生归纳总结）

2xy1（1）

则目标函数z3x5y的取值范围是，

y的取值范围是，

x122（3）

则目标函数z=x+ y的取值范围是，

（4）

若目标函数zaxy取得最大值得最优解有无数个，求a得范围，

（5）

若目标函数zaxy仅在（0,0）点处取得最大值的最优解，求a的取值范围。

（2）

则目标函数z=（三）

课堂反馈

（四）

课后作业

同步练习册

（五）

课后反思:

实际教学中注意以下几个问题：①用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数．②可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．③如果可行域是一个凸多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断．④若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当的调整．其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法．⑤在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．