2.3.1 圆的标准方程优秀课堂实录

4.1.1圆的标准

一、教学目标

（一）核心素养

通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程. （二）学习目标

掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程. （三）学习重点

利用各种条件求圆的标准方程. （四）学习难点

根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程. 二、教学设计

（一）创设情境，引入课题

银川火车站建于2009-2011年.车站采用钢桁架结构，两端向外悬挑, 站房主体由多个圆拱支撑,它的运营能力与北京西站的运营能力相当，是银川的地标性建筑之一。

观察其中一个圆拱，跨度28m,拱高10m，思考：圆拱是圆的一部分，如何确定圆拱所在的圆？

探究一：探究圆的标准方程

问题1：圆的定义是什么？

平面内与定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

问题2：如何用集合表示以点A为圆心，r 为半径的圆？

P = { M | |MA| = r

} 显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一个圆的最基本的要素就是圆心和半径. 【设计意图】从理性分析到感性认识，得出圆的定义. 探究二

圆的标准方程

问题3：如何利用坐标法推导圆的方程。

•活动①

如果圆心C的坐标为(a,b)，半径大小为r，那么圆的方程是什么？

设圆上任意一点M(x,y)，则M到圆心C的距离等于半径r，圆心为C的集合就是PMMCr，

由两点间的距离公式，点M适合的条件可以表示为

两边平方，得：

222(xa)(yb)r

……………………⑴

(xa)2(yb)2r

若点M(x,y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适合方程(1)；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程(1)，这说明点M到圆心C的距离等于半径r，即点M在圆心为C的圆上. 我们就把方程(1)称为圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程. 【设计意图】利用两点间的距离公式和圆的定义推导出圆的标准方程，实现从几何到代数的转化.

思考：1.是否在圆上的点都适合这个方程？

2.

是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？曲线与方程1.gsp 练习1(口答):求圆的圆心及半径

(1) (x-3)2+(y+2)2 =4

(2) (x+4)2+(y-2)2 = 7 探究三

点和圆的位置关系

•活动①

由探究二我们知道，如果点M0(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2r2上，则222满足(x0a)(y0b)r.那么点M0(x0,y0)在圆(xa)2(yb)2r2内又要满足什么条件呢？在圆(xa)2(yb)2r2外呢？

点M0(x0,y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系：

222（1）点M0在圆C上(x0a)(y0b)r；

222（2）点M0在圆C内(x0a)(y0b)r；

222（3）点M0在圆C外(x0a)(y0b)r；

【设计意图】掌握点与圆的位置关系和刻化方法. 例1. 圆(x2)2(y3)22的圆心坐标和半径分别为（

）

A. (2,3),2

B. (2,3),2

C. (2,3),2

D. (2,3),2

【知识点】圆的圆心坐标和半径. 【解题过程】由圆的标准方程可知圆心坐标为(2,3)，半径r2

同类训练

圆(x1)2(y2)25的圆心到直线yx的距离为（

）

A.32

B. 5

C. 32

D. 5

2【知识点】由圆的方程得圆的圆心坐标以及点到直线距离公式的使用. 【解题过程】由圆的方程可知该圆的圆心为(1,2)，由点到直线的距离公式得所求距离为21232. 2例2.已知点A(0,-1)，B(2,1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为（

）

（x1)2y21

A.(x1)2y21

B.（x1)2y22

D.(x1)2y22

C.【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程. 【解题过程】因为线段AB为直径，所以圆心坐标为(1,0)，半径r1AB2，2（x1)2y22

所以圆的方程为同类训练

圆心在直线l:2xy30上，且过点A(5,2)和B(3,2)的圆的标准方程为（

）

A.(x2)2(y1)210

B.(x2)2(y1)210

C.(x2)2(y1)210

D. (x2)2(y1)210

【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程. 【解题过程】∵圆过点A(5,2)和B(3,2)，所以圆心必在线段AB的垂直平分线上，即在直线l:x2y4上. 由条件圆心必为l与l的交点，所以由2xy30x2，所以圆心为C(2,1)，半径rAC10，所以所求圆x2y40y1

的方程为(x2)2(y1)210

【思路点拨】如果圆过两个点，那么圆心一定在过这两点的弦的中垂线上. 强化提升、灵活应用

3.课堂总结

知识梳理

（1）确定圆的基本要素是圆心和半径；

（2）圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2

（3）点M0(x0,y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系：

222点M0在圆C上(x0a)(y0b)r；

222点M0在圆C内(x0a)(y0b)r；

222点M0在圆C外(x0a)(y0b)r

重难点归纳

（1）圆的标准方程的推导思想和过程；

（2）在各种条件下会求圆的圆心坐标和半径大小，进而求出圆的方程.