2.基本不等式教案和课堂实录

基本不等式：abab

2教学目标：理解基本不等式的意义、证明和几何意义，能够运用基本不等式解决一些应用问题。

教学重点、难点：两个不等式的证明和区别，正确运用基本不等式；理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵，注意运用不等式求最大(小)值的条件. 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的；比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,有什么结论？ 我们把“风车”造型抽象成图.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的a长为a,b那么正方形的边长为a2b2，面积为a2+b2, 4个的直角三角形的面积和小于正方形ABCD的面积，于是有不等式：a2+b2≥2ab

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点时，有a2+b2=2ab；

一般的，如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab

当且仅当a=b时，等号成立。

特别地，如果a>0,b>0,用a,b分别代替a,b，得 a+b≥2ab

通常上式写成ab≤ab(a0,b0)，当且仅当ab时取等号，称为基本不等式。

2证明：作差法或分析法。

要证: abab(a0,b0) ①

2即证 ab ②

要证②,只要证 ab 0 ③[来源:学.科.网]

要证③,只要证 ( - )2

0 ④

显然, ④是成立的,当且仅当ab时, ④的等号成立

探究:(课本P98)如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。 发现：ab表示圆的半经，ab表示半弦长CD,得到不等关系：ab≤2ab(a0,b0)，几何意义：半弦长不大于半径长。

2a

＋b说明：1）我们称2

为正数a，b的算术平均数，称ab

为正数a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

a

＋b2）a＋b≥2ab和2

≥ab

成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数， 2 2而后者要求a，b都是正数. 3）“当且仅当”的含义：当ab时，等号成立，其含义是：如果ab那么abab

2

仅当ab时，等号成立，其含义是：如果abab那么ab

2

综合起来：其含义是：ab等价于abab

24）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项

代数意义：几何平均数小于等于算术平均数

例1 已知ab>0，求证：

例2 (1)已知x<0，求函数f(x)x2的最大值。(22) xba2，并推导出式中等号成立的条件。

ab

2x2x3(x3)的最大值，及此时x的值。

(2)求函数f(x)x练习

(1)已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．(当x=6,y=4时,最小值为48).

(2) 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．(最小值为8)

(3) 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求u

a2b2c2abc。

例3 (1)已知a,b,c均为，求证：bcaa2b2c2b2a，c2b，

a2c；证明：a,b,c均为正数，bcaa2b2c2abc

bca11的最小值．(322) xy(2)设a,b为正数，证明不等式：ab

11ab22ab2ab2ab

故：ab证法（1）由a0,b0知

11ab2ab11abab11111112abab证法（2）由a0,b0知ab

112ab2abAab2DEOcB证法（3）（几何解析

数形结合）AB是圆O的直径，ACa,CBb，过C作CDAB交圆O上半圆于点D，过点C作CEOD交OD于点E，在RtOCD中，由射影定理知DC2DEOD

2DC2ab2即：DE，由于DCDE得ab，当且仅当ab时，11ab11ODab2ababab等号成立，结论：112ab2ab2a2b2a2b2)

ab

ab(

222

例4 (1)若0x1，求yx(1x)的最大值；(2)若0x(3)

若x0,求x

定理：已知x,y都是正数，则

1的最大值

x1，求yx(12x)的最大值；2 ①如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2p

1②如果和xy是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2

4

例5 (1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy100,

篱笆的长为2（xy）m 由

xyxy，可得 xy2100, 2（xy）40

2等号当且仅当xy时成立，此时xy10，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m (2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2（xy）=36，xy=18，矩形菜园的面积为xym2，

由

xyxy189,可得 xy81,可得等号当且仅当xy时成立，此时xy9 22因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2

例6 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3 m。如果池底每

平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？

分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。

z1504800120(23x23y)240000720(xy)

3由容积为4800 m3可得3xy=4800, 因此xy=1500, 由基本不等式与不等式性质，可得

240000+720(x+y)≥ 240000+720×2xy

即:z≥240000+720×2xy =297600，可得等号当且仅当xy时成立，此时xy40

所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低,最低造价为297600元[

题型一：利用均值不等式求最值(值域) 例1 (1)已知x0，求f(x)1243x的最小值；(2)已知x3，求f(x)x的最大值

xx34x的值域

；

x3练习

(1)若xR，求f(x)(2)函数yx2x2x0的最大值为

。

例2 (1)已知a0,b0且191，求ab的最小值. ab解法一：ab19b9a102916

ab思路二：由191变形可得(a1)(b9)9,a1,b9,然后将ab变形。

ab 解法二：ab(a1)(b9)102(a1)(b9)10291016

可以验证：两种解法的等号成立的条件均为a4,b12。

(2)xR，求f(x)sin2x15的最小值

(t≥1,f(x)=t+5/t,用钩函数) 2sinx1(3)求y2(x23)x22的最小值为

。(y2(x221x22)用钩函数) (4)函数yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中mn0，则

例3 已知x,y都是正实数，且xy3xy50；(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值

(1)0xy3xy52xy3xy5,(2)xy3(

题型二：利用均值不等式证明不等式

例4 已知a,b,cR，求证：

(1)

已知a,b,c,d都是正数，求值(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd

(2)a2b2c2abbcca

(3)a2b2b2c2c2a22abc,(因为2(a2b2)a2b22ab(ab)2) (4)a4b4c4a2b2b2c2c2a2abcabc

练习

(1)已知a,b,cR,且a,b,c,不全相等，求证：bcacababc

abc1；

3xy2)5xy3xy50

212122mn2mn的最小值为

.(A(-2,-1),2m+n=1, =) mnmnmn

(2)已知a,b,cR，且abc1，求证：a2b2c2(因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3(a2+b2+c2)) 11

(3)已知a0,b0,ab1，求证：119

ab

2211(a1)(b1)abab1ab21证明：11=9 1ab2ababababab()2

题型三：实际应用问题

例5 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40km／h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km／h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2,问：甲、乙两车有无超速现象？

分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．

解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1200＞0，

解得x＞30，或x<40（不合实际意义舍去）,这表明甲车的车速超过30km／h．但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速不会超过限速40km／h．对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2000＞0，解得x＞40或x＜－50（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km／h，超过规定限速．

例6 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．已知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约销售100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R％），则每年的销售量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万元，R应怎样确定？

解：由题意得生产销售的酒为(100－10R)万瓶，可以卖得70×(100－10R)万元，附加税为70×(100－10R)×R%万元，所以70×(100－10R)×R%≥112，即R2－10R+16≤0，

解得2≤R≤8.

答：R的取值范围为2≤R≤8。

例7 若ab1，Plgalgb,Q1ab(lgalgb),Rlg比较P、、Q、R的大小

22，答案：B；∵lga＞lgb＞0，∴1（lga＋lgb）＞lgalgb，即Q＞P，

2又∵a＞b＞1，∴abab1ab，∴lg()lgab（lga＋lgb），

222即R＞Q，∴有P＜Q＜R，选B。

x23x1例8 (1)当x1时，求函数f(x)的值域。

x13(x2)，求函数的最小值．

x2(2)已知函数f(x)x(3)若实数a、b满足ab2,求3a3b的最小值

(4)已知2a+b=2,求f(x)=4a+2b的最值和取最值时的a和b.

解：f(x)4a2b22a2b222ab2224当且仅当2ab且2ab2所以f(x)的最小值是4,即a0.5，b1时取等号

练习 (1)若a0,b0,求函数yxababy,y最值. (答案：) minmax2axb2ab2ab(2)求函数y3x(x0)的值域.

(答案：[-3，0]) x2x1(3)已知正数x,y满足x2y1,求11的最小值.

(答案：322) xy9111的最小值.

(答案：) 2xyz(4)已知x,y,z为正数，且xyz2，求S

1(1ab)xb(5)若x[,b](a0)，求y的最小值.

(答案：a) axa2b2c2abc(6)设a,b,c为整数，求证：. bccaab2a2bca2bc证明：2a

bc4bc4a2b2(7)当0x1,a,b为正常数时，求y的最小值. x1x(8)已知0x2,f(x)12009的最小值为

. sinx1sinxy2(9)已知x,y,zR，x2y3z0，则的最小值

▲

．

xzx3zy2x29z26xz6xz6xz3，当且仅解：由x2y3z0得y，代入得：2xz4xz4xz当x＝3z

时取“＝”．

11(10)设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为

ab1

4

A

8

B

4

C 1

D 1111baba解：因为3a3b3，所以ab1，(ab)()2224，ababababba1当且仅当即ab时“=”成立，故选择C ab2

(11)设a,b,c都是正实数，且a(a+b+c)+bc=4-23，求2a+b+c的最小值。

解：a(a+b+c)+bc=a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)=4-23，2a+b+c=(a+b)+(a+c)

(ab)(ac)2423232，当且仅当b=c时取等号。

(12)已知a＞0，b＞0，且a+b=1

求证

(a+1125)(b+)≥。

ba4证法一：

(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8

∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立，∵1=a+b14≥2ab，∴ab≤，从而得证。

14证法二：

(均值代换法)设a=+t1，b=+t2。∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|1212221212(tt1)(tt221)11a1b1(t1)1(t2)1411114＜，|t2|＜，(a)(b)

221122abab11(t1)(t2)t1t22222221125322541152222t2t2(t1t11)(t2t21)(t2)2t22544416216.

11112242t2t2t24444显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立。

12证法三：(比较法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1，41125(a)(b)ab41125(a)(b)

ab4a21b2125ab44a2b233ab84ab(14ab)(8ab)04ab

证法四：(综合法)∵a+b=1，

a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1，4252(1ab)12139112516(1ab)12521ab1(1ab)

即(a)(b)。

ab444161ab44ab证法五：(三角代换法)∵

a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，2)，

11112(a)(b)(sin2)(cos)22absincossin4cos42sin2cos224sin22(4sin)164sin2222sin221,4sin22413.42sin22162511sin2241125(4sin22)225即得(a)(b).

，ab44sin224