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课题: §3.3.2简单线性规划（第1课时）

【教学目标】

1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；

2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；

3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

【教学重点】

理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；

【教学难点】

把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

【教学过程】

1.课题导入

[复习引入] 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。

随堂练习1

1、画出不等式2x+y-6＜0表示的平面区域. xy502、画出不等式组xy0表示的平面区域。

x32.讲授新课

【应用举例】

yx+y=055B(-,)22x-y+5=06x=303C(3,-3)xA(3,8)例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：

学段

初中

高中

班级学生人数

45 40 配备教师数

2 3 硬件建设/万元

26/班

54/班

教师年薪/万元

2/人

2/人

分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有20xy30

考虑到所投资金的限制，得到26x54y22x23y1200

即 x2y40

另外，开设的班数不能为负，则x0,y0

把上面的四个不等式合在一起，得到：

20xy30x2y40

x0y0用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）

例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：

4xy1018x15y66

x0y0在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。

[补充例题] 例1、画出下列不等式表示的区域

(1) (xy)(xy1)0； (2) xy2x

分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由x2x，得x0，又用y代y，不等式仍成立，区域关于x轴对称。

解：(1)xy0xy0矛盾无解，故点(x,y)在一带形区域内（含边界）。

0xy1或xy10xy1xy0点(x,y)在一条形区域内(边界)；当y0，2xy0(2) 由x2x，得x0；当y0时，有由对称性得出。

指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

2xy30例2、利用区域求不等式组2x3y60的整数解

3x5y150分析：不等式组的实数解集为三条直线l1:2xy30，l2:2x3y60，l3:3x5y150所

围成的三角形区域内部(不含边界)。设l1l2A，l1l3B，l2l3C，求得区域内点横坐标范围，取出x的所有整数值，再代回原不等式组转化为y的一元不等式组得出相应的y的整数值。

解：设l1:2xy30，l2:2x3y60，l3:3x5y150，l1l2A，l1l3B，l2l3C，∴A(153751275,)，B(0,3)，C(,)。于是看出区域内点的横坐标在(0,)内，取x＝84191919y1124y1，1，2，3，当x＝1时，代入原不等式组有y⇒得y＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。5312y5同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。

指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有整数值，即先固定x，再用x制约y。

3.随堂练习2 1．（1）yx1； （2）．xy；

（3）．xy

xy60xy02．画出不等式组表示的平面区域

y3x53．课本第97页的练习4 4.课时小结

进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。

5.评价设计

1、课本第105页习题3.3[B]组的第1、2题