阅读与思考 九连环第二课时教学实录

2.5等比数列的前n项和

一、教学目标：

知识与技能目标：理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式. 过程与方法目标: 在推导公式的过程中渗透数学思想、方法，优化学生思维品质．

情感、态度与价值目标：通过学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出的数学方法美.

二、教学重点、难点

重点：等比数列的前n项和公式的推导和公式的简单应用．

难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用

三、教学模式与教法、学法

教学模式

：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程分析

（一）教学环节

创设情景

类比探索

提出问题

形成公式

（4分钟）

（20分钟）

解决问题

归纳总结

前呼后应

加深理解

（2分钟）

（3分钟）

.

下面，我就重点介绍一下我的教学过程

五、教学过程

教学环节

教学内容

复习旧知识，引入新知

一、温故知新，提出问题

问题1.课本“国王对国际象棋的发明者的奖励”

分析问题；如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前公式应用

培养能力（11分钟）

延伸拓展

发散思维

（5分钟）

师生活动

设计意图

由复习引1、创设学习情境。

2、激发学生学习的兴趣。

入，通过数学知识的内部发现问题。

归纳抽象形成概念

比较分析，深化认识

64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

二、知识探究：

探究1：如何求和:

培养学生分析，抽象能力、感受等比数列发现和推导过程。

设计的意图：等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿下功夫，让学生经过思考讨论、教师引导类比倒序相加求和，运用数学中重要的转化思想，通过构造法发现上述解法.

引导学生回忆：等差数列公式的推导方法一：

求和的重要方法是倒序相加一般地，设等比数列

法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方a1,a2a3,an它的前n项和是

程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问Sna1a2a3an

题．从而得出求和的实质是减少了项.同时又引导学生思考现Sna1a2a3an由

在用这种方法还行吗？若不n1aaq1n行，那该怎样简化运算？能否得类比倒序相加的本质，根据等2n2n比数列项之间的特点，也构造1Sna1a1qa1qa1qa1q一个式子，通过两式运算来解23n1qSaqaqaqaqaqn11111n决问题？

从而引发学生的思考、讨论.这就是学生在讨论这(1q)Sna1a1qn 个问题的一个片段。

n∴当q1时，Sn122223258259

a1(1q)

①

1q

aanq或Sn1 ②

1q当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，

aa2a3nq

a1a2an1根据等比的性质，有

a2a3anSa1nq

a1a2an1Snan即Sna1q(1q)Sna1anqSnan（结论同上）

围绕基本概念，从等比数列的定义出

发，运用等比定理，导出了公式．

公式的推导方法三：

Sna1a2a3an

＝a1q(a1a2a3an1)

＝a1qSn1＝a1q(Snan)

在探究一的基础上，我再顺势引导学生将问题一般化，类比联想解决问题.

教师和学生一起分析式子的结构特征并强调q1时该求和

培养学生善于(1q)Sna1anq（结论同上）

等比数列的前n项和公式：

公式中有5个量，知3求2的方程思想.

设计的意图是：营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．另一方面学生的错误教师不忙指出，让学生体验：自己推导出公式（不完整）──公式应用──联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。

a1(1qn)当q1时，Sn

① 1q或Sna1anq ② 1q当q=1时，Snna1

思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？

（当已知a1, q, n

时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.）

解决问题；有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。

由a11,q2,n64可得

a1(1qn)1(1264)64==21。

得出矛盾──完整公式这个过Sn121q程，让学生在矛盾中感悟，在参与和笑声中牢牢地记住了公2641这个数很大，超过了

1.841019。国王不能实现他的诺言。

式，从而掌握公式的本质. 在推出公式后，我又抛出了一个问题.

四、性质应用、讲练结合

例1：求下列等比数列前8项的和．

（1）

引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化公式的理解和应用。

111，，，… 248

1

（2）a127,a9,q0

243解：由a1=

1111，q,n8,得

4222

使同学能够熟练灵活的运用公式，能运用公式。

811122255S8.

125612例2：某商场第一年销售计算机5000台，

如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？

解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{an},其中

的再认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、进一步渗透求和公式中五个量知三

设计目的在于深化学生对公式a1=5000, q110%1.1,Sn30000,

于求二的方程思想，促进学生新是得到5000(11.1)30000.

11.1nn的数学认知结构的形成，而一题多解，培养学生的发散性思维．通过以上形式，让全体学生都参与教学，使学生由简单整理得1.11.6.两边取对数,得nlg1.1g1.6 用计算器算得n5(年). 答:约5年内可以使总销售量达到30000台. 例3．求和

地模仿和接受，变为对知识的主动求索，从而有利于提高思维的灵活性和梯度以此培养学生的参与意识和竞争意识．

Snx2x3x23

nx(x0)．n

解：由式子特点，两边同乘x，然后相减即得一等比数列的求和问题，但应注意公比的讨论．

⑴当x1时，

Sn123nn(n1)．

2

⑵

当x1时，

Snx2x23x3xSnx22x33x42nxn，

nxn1

3(1x)Snxxxxnxnn1x(1xn)nxn11xx(1xn)nxn1．Sn．

(1x)21xn(n1)(x1)2Snnn1x(1x)nx(x0且x1)2(1x)1x．

课堂练习

1．某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店

学生分组讨论自主探究，教1师巡视指导，作出评价。

定，购买时先支付货款的3，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？

假设货主每月还商店a元，写出在第

i(i=1,2,36)个月末还款后，货主对

引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好商店欠款数的表达式. 每月的还款额为多少元（精确到0.01）？

引导学生,认真阅读题目,理解题意, 月底等额还款,即每月末还款数一样，

月底还款后的欠款数还款后的欠款数yi与第i-1个月底yi1的关系是第yiyi1(10.05%)a,(学生分析) 三年内还清转化为数学语言是: 解应用题先要认真阅读题目,的学习习惯和一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键能力。

词:”等额还款”,”月利率”,”第i个月末还款后欠款表达式”等; 理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题得到尽可能圆满的解答.

y360

解(1)因为购买电脑时,货主欠商店的货款,即60002324000 (元),又3按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元. (2)设第i个月底还款后的欠款数为yi,则有 y1=4000(1+0.5%)-a

y2=y1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-ay3=y2(1+0.5%)-ay3=y2(1+0.5%)-32a

=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a

 yi=yi1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)-ia(1+0.5%)i1

-a(1+0.5%)i2- -a,整理得 yi

(10.5%)i1ai0.5%=4000(1+0.5%)-.(i=1,2,,36) (3)因为y36=0,所以(10.5%)361a360.5%4000(1+0.5%)-=0 即每月还款数4000(10.5%)360.5%121.6936(10.5%)1a=(元)所以每月的款额为121.69元.

五、课堂小结：

引导学生学会自己总结，让学

1.等比数列求和公式：

当q=1时，Snna1；当q1时，

生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程. a1(1qn)当q1时，Sn 1q2.思想方法；分类讨论、方程、转化与化归等.错位相减法

课后作业

1.课本P61习题2.5 A 组

第1、2题

2. 配套练习

学生课后完成.

进一步对所学知识巩固深化。

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