小结优秀公开课教案

《基本不等式》教学设计

一、教材分析

1、本节教材的地位和作用 “基本不等式”

是必修五第三章第四节的内容，从勾股弦图这个几何背景中抽离出基本结论，是解决最值问题的有力工具之一，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用.是高考中的热点难点.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质. ２、

教学目标

（1）知识目标:从勾股弦图中得到并证明基本不等式.了解基本不等式的几何意义.会用基本不等式解决最值问题。

（2）能力目标:培养学生观察、归纳、推理、判断、猜想等思维能力。

（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。 ３、教学重点、难点

根据课程标准制定如下的教学重点、难点

重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。

难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。

二、教法说明

本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大.让学生爱学、乐学、会学、学会. 第

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三、学情分析

前面学习过不等式的性质已经二次不等式的解法，高一的学生已经能够用作差法进行简单的数与式比较，本节内容从形出发到代数证明.直观到抽象，学生应该能较好的理解掌握基本不等式.

四、学法指导

为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体，教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题，感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习。

五、教学设计

◆运用2002年国际数学家大会会标引入

◆运用几何画板分析赵爽弦图引入基本不等式

◆运用分析法证明基本不等式

◆不等式的几何解释

◆基本不等式的应用

1、运用2002年国际数学家大会会标引入

如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。（展示风车）

正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=＿＿，Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，第

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Ｄ

Ｇ

Ａ

Ｈ

a Ｆ

Ｃ

Ｅ

b a2+b2Ｂ

它们的面积之和是S’=＿

从图形中易得，s≥s’,即

a2b22ab问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？

问题2：当 a,b为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）

一般地，对于任意实数a、b，我们有

a2b22ab当且仅当（重点强调）a=b时，等号成立（合情推理）

问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明）

设计意图

（1）运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。

（2）运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直观。

（3）三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解．

2、利用几何画板讲解

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3，分析法证明基本不等式

如果 a＞0,b＞0 , 用

a

和b分别代替a,b。可以得到

(a-b)20a+bab(a>0,b>0)也可写成 2（强调基本不等式成立的前提条件“正”）（演绎推理）

问题4：你能用不等式的性质直接推导吗？

a+b2ab

要证 ①

a+bab只要证 ②

2

a+b-2ab0要证② ,只要证 ③

(a-b)20要证③ ,只要证

④

显然, ④是成立的.当且仅当a=b时, 不等式中的等号成立.

（强调基本不等式取等的条件“等”）

设计意图

（1）证明过程课本上是以填空形式出现的，学生能够独立完成，这也能进一步培养学生的自学能力，符合课改精神；

（2）证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解；

（3）此种证明方法是“分析法”，在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解，此处有必要让学生初步了解。

D 4，不等式的几何解释

如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,则CD= ,半径为 E A B C 问题５：

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?

（学生积极思考，通过第

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几何画板帮助学生理解）

设计意图

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。

5，基本不等式的应用

例１．

(1).已知(2).已知 变式：已知设计意图

（1）这道例题很简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够练习“分析法”证明不等式的过程；

（２）学生能够加深对基本不等式的理解,a和b不仅仅是一个字母,而是一个符号,它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式；

（３）变式练习的安排，让学生理解基本不等式的应用条件. 2,求证求并指出等号成立的条件. 与2的大小关系，并说明理由. 能得到什么结论，请说明理由. 例2：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）用长100m篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所围成面积最大？

设计意图

（１）此题目从实际问题出发，利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，第

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体现了基本不等式的应用价值；

（２）强调利用不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”；

（3）用基本不等式求最值得两种情况：和定积最大，积定和最小. 练习：1.设a>0,b>0，给出下列不等式：

（1）, (3),; (2), (4);

其中成立的是 等号成立的是 2.(1) （2）设 (3).设 (4),则则中，的最小值8. 的值域是[2,，x=2时，;

的最小值为2. 其中正确命题的有 设计意图

(1)

练习题的设置，辨别正误有助于学生进一步巩固基本不等式，并利用不等式求最值. (2)

理解基本不等式的“一正”“二定”“三相等”的本质，并灵活运用. 作业：

必做题：作业本P74 基础训练

选做题：作业本P74 能力提升

设计意图

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（1）必做题是让学生巩固所学知识，熟练公式应用，强化学生基础知识、基本技能的形成；

（2）选做题达到分层教学的目的，根据学生的实际情况，对他们进行素质教育。

时间安排：引入约5分钟

证明基本不等式约10分钟

几何意义约10分钟

知识应用约15分钟

小结约5分钟

五、板书设计

Ｄ

Ｆ

基本不等式

几何解释

Ｃ

例2 Ｇ

Ａ

2Ｈ

a b a+b2Ｅ

例1 Ｂ

例题讲解

小结

a2b22ab分析法证明

作业

教学反思：本节课通过从生活实际问题引入课题，增强学生的学习兴趣，在教学设计上抓住一正二定三相等，通过对基本不等式的顺用逆用，掌握基本不等式的简单的求最值问题，达到本节课的教学目标。本节课主要采用教师引导，学生主动探究知识方法，体现了学生为主体的新课标理念。在此次教学过程的不足之处在于对时间的分配存在问题，造成了前松后紧。

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